Llamemos al radio y la altura del tanque como un todo [matemática] R [/ matemática] y [matemática] H [/ matemática], y el radio y la altura en un punto genérico a lo largo de la superficie del tanque [matemática] r [ / math] y [math] h [/ math]. Tenga en cuenta que, por triángulos similares, [matemáticas] r / h = R / H [/ matemáticas]. Démosle a esta relación fija (que es lo que el problema nos pide que encontremos) la etiqueta [math] k [/ math].
Ya sea a partir de una ecuación conocida o al hacer la integral relevante, puede encontrar que el volumen de un cono con una base de radio [matemática] r [/ matemática] y una altura [matemática] h [/ matemática] viene dada por
[matemáticas] V = \ tfrac {1} {3} \ pi r ^ 2 h = \ tfrac {1} {3} \ pi k ^ 2 h ^ 3 [/ matemáticas]
- Si cada acción tiene una reacción igual y opuesta, ¿cómo se mueven las cosas?
- ¿Qué se entiende por onda portadora?
- ¿Por qué la tensión radial en un cilindro delgado es cero?
- Si la tierra dejara de girar, ¿los colores seguirían siendo los mismos?
- ¿Qué es una fuerza de inercia? ¿Cuál es el significado físico?
donde he sustituido en [math] r = kh [/ math] para nuestro caso actual. Por lo tanto,
[math] \ frac {\ mathrm {d} V} {\ mathrm {d} h} = \ pi k ^ 2 h ^ 2. [/ math]
Se nos da la velocidad de flujo del agua (que será [matemática] dV / dt [/ matemática]), así como la velocidad a la que aumenta la altura ([matemática] dh / dt [/ matemática]). Entonces, podemos conectarlos todos juntos y obtener
[matemáticas] \ begin {align *}
\ frac {\ mathrm {d} V} {\ mathrm {d} t} & = \ frac {\ mathrm {d} V} {\ mathrm {d} h} \ frac {\ mathrm {d} h} {\ mathrm {d} t} \\
10 \ text {m} ^ 3 / \ text {min} & = \ pi k ^ 2 (2 \ text {m}) ^ 2 \ left (5 \ text {m / min} \ right) \\
\ pi k ^ 2 & = 1/2 \\
k & = \ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}}.
\ end {align *} [/ math]
