¿Cuál es una buena explicación de la distribución de Maxwell-Boltzmann?

La mejor explicación que conozco se puede encontrar en Hyperphysics (ver http: //hyperphysics.phy-astr.gsu…)

La distribución de Maxwell-Boltzmann es la función de distribución clásica para la distribución de una cantidad de energía entre partículas idénticas pero distinguibles .

O de Wikipedia …

La distribución de Maxwell-Boltzmann generalmente se considera como la distribución de las velocidades moleculares, pero también puede referirse a la distribución de las velocidades, los momentos y la magnitud de los momentos de las moléculas, cada una de las cuales tendrá una función de distribución de probabilidad diferente, todas de los cuales están relacionados

En cualquier caso, en realidad hay tres funciones de distribución (http: //hyperphysics.phy-astr.gsu…) que se encuentran en la física estadística: Maxwell-Boltzmann , Bose-Einstein y Fermi-Dirac . La distribución de Maxwell-Boltzmann tiene cuatro postulados que la distinguen de las otras dos distribuciones:

  • Partículas idénticas y distinguibles
  • No hay restricción en el número de partículas que pueden ocupar un estado dado.
  • En equilibrio térmico, la distribución de partículas entre los
    los estados de energía disponibles tomarán la distribución más probable
    consistente con la energía total disponible y el número total de
    partículas
  • Cada estado específico del sistema tiene la misma probabilidad.

Aquí hay una muy buena explicación de la fórmula:

Ahora, ¿cómo lo derivamos realmente? Pensamos en ello como la magnitud de un vector tridimensional cuyos componentes son independientes y normalmente distribuidos con media 0 y desviación estándar a . Si cada variable aleatoria iid [matemática] X_i [/ ​​matemática] se distribuye como luego…
se distribuye como una distribución de Maxwell-Boltzmann con el parámetro a . Además del parámetro de escala a , la distribución es idéntica a la distribución chi con 3 grados de libertad.

Y a se usa en el gráfico a continuación de la distribución, donde se usa como parámetro de escala
¿Cuáles son las aplicaciones de estos? Bueno, puedes encontrar las velocidades media y media de las moléculas de la distribución (como se explica en http://en.wikipedia.org/wiki/Max…). También puede encontrar los niveles de energía de ellos, que tiene importantes aplicaciones en la cinética química.

En la ciencia planetaria, en particular, la Distribución de Boltzmann es particularmente importante para comprender Jeans Escape (que es importante para la evolución de las atmósferas planetarias, explica por qué la Tierra no puede retener su hidrógeno y helio), como se explica aquí:

Las moléculas individuales en la cola alta de la distribución pueden alcanzar la velocidad de escape, a un nivel en la atmósfera donde la trayectoria libre media es comparable a la altura de la escala, y abandonar la atmósfera.

Cuanto más masiva es la molécula de un gas, menor es la velocidad promedio de las moléculas de ese gas a una temperatura dada, y es menos probable que alguna de ellas alcance la velocidad de escape.

Es por eso que el hidrógeno escapa de una atmósfera dada más fácilmente que el dióxido de carbono. Además, si el planeta tiene una masa más alta, la velocidad de escape es mayor y se escaparán menos partículas. Es por eso que los planetas gigantes gaseosos tienen cantidades significativas de hidrógeno y helio, que escapan en la Tierra. La distancia a la estrella también juega un papel; Un planeta cercano tiene una atmósfera más cálida, con un rango de velocidades más rápido y más posibilidades de escapar. Un cuerpo distante tiene una atmósfera más fresca, con un rango de velocidades más lento y menos posibilidades de escapar. Esto ayuda a Titán, que es pequeño en comparación con la Tierra pero más alejado del Sol, a mantener su atmósfera.

Hay explicaciones más elaboradas de esto en las notas del curso de James Kasting en http://www3.geosc.psu.edu/~jfk4/…

Estados de materia

Si estás leyendo esto a través de una computadora, te acabas de dar cuenta de que el dispositivo que estás usando tiene vidrio / plástico sólido . Tal vez, podría estar bebiendo un poco de agua líquida o con hielo sólido si hace demasiado calor. Quizás, el lugar en el que vives es bastante caluroso, por lo que ves que sale vapor gaseoso de la taza. He puesto en negrita algunas de las palabras relacionadas entre sí. ¿Puedes adivinar qué es?

Si dijiste ‘estados de la materia’, estás en lo correcto. Si observa su entorno, notará que la materia está en todas partes, literalmente. La materia es sustancia a nuestro alrededor. Y si el párrafo anterior es cierto, entonces la materia puede asumir ciertos estados o posiciones. Así como el hielo se derrite o el vapor se condensa en gotitas, la misma materia puede asumir diferentes estados; uno puede convertirse fácilmente en otro estado si las condiciones lo favorecen. Esto podría significar suministrar más calor o quizás enfriar el aire a su alrededor.

Estados de materia

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Observar un sólido; No fluye. Ocupa un cierto volumen fijo y tiene una forma y un tamaño definidos para una temperatura dada. Es posible que se sienta inclinado a decir ‘ pero arena ‘, pero la arena es una amalgama de pequeñas partículas de partículas de arena que, por sí mismas, tienen propiedades observables como las anteriores. Si observa la disposición microscópica de las moléculas en sólidos, observará que las moléculas están firmemente unidas entre sí y no se mueven por sus lugares. Son como casas con vecinos fijos. Imagina canicas pegadas por pegamento.

Ahora, observe un líquido; sí fluye Sin embargo, ocupa un cierto volumen y se mantiene así. Vierte un vaso de agua en un balde y el agua toma la forma del balde. Sin embargo, el volumen no cambia. Entonces, los líquidos tienen un volumen fijo pero no tienen una forma definida para una temperatura dada. Ahora, si observa cómo se han organizado las moléculas de un líquido, parece que las moléculas están unidas entre sí, pero se mueven. Se resbalan y se deslizan unos sobre otros. Son como un gran grupo de adictos a las compras que acaban de ver una venta excelente.

Finalmente, observe un gas; está literalmente en todas partes! No puede mantenerlo restringido en un contenedor abierto ni tiene una forma y tamaño definidos. Eso es correcto; los gases no tienen un volumen sin restricciones (aparte del volumen de la (s) molécula (s)); solo asume un volumen si hay algún tipo de restricción externa que impide que se derrame por todas partes. Si observa cómo se comportan las moléculas, notará que las moléculas están muy separadas. No están unidos entre sí y se mueven con gran velocidad. Algo así como gatitos corriendo frenéticamente, buscando bolas de hilo. Ahora estamos interesados ​​en los gases, ya que es en este estado donde la distribución es la mejor.

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La teoría cinética de los gases.

Para comprender la distribución, primero necesitamos establecer parámetros para definir cómo se comporta un gas. La teoría cinética de los gases supone que el gas es ideal . Usando esta suposición, establece que:

  • Las moléculas de gas experimentan un movimiento rápido y aleatorio.
  • El volumen ocupado por la molécula es insignificante en comparación con el volumen del contenedor.
  • No hay fuerza de atracción / repulsión entre las moléculas de gas.
  • La única interacción que experimenta son las colisiones elásticas (esto significa que no pierden energía en las colisiones)
  • La temperatura del gas se relaciona con la energía promedio de las moléculas de gas.

Un gas ideal es el que sigue perfectamente la descripción anterior. Sin embargo, el gas ideal es solo un gas teórico; Todos los gases en la Tierra siguen un comportamiento no ideal, aunque pueden acercarse mucho al comportamiento ideal (como Él). Estos gases se llaman gases reales .

Gas real versus comportamiento ideal del gas. Los gases reales tienen curvas!

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Temperatura y energía

He respondido esto en detalle aquí . Verifíquelo para ver el vínculo entre temperatura y energía.

En la sección anterior, obtienes una descripción de cómo se comporta un gas. Si te das cuenta, la teoría se llama ‘teoría cinética’ de los gases. ¿Por qué? Vea el primer supuesto de la teoría: cada molécula experimenta un movimiento rápido y aleatorio. Esto significa que una molécula de gas siempre se está moviendo y no tiene una noción preconcebida de hacia dónde se dirige. Por supuesto, es bueno saber que los objetos en movimiento tienen energía relacionada con su masa y velocidad. Sin embargo, en un gas puro, todas las moléculas tienen aproximadamente la misma masa, por lo que su energía solo puede ser proporcional a la velocidad. Por lo tanto, concluimos que si el gas tiene más energía, debe moverse más rápido.

Esta energía, por lo tanto, se llama energía cinética (del griego kinētikos , de kinein ‘para moverse’). Sin embargo, ¿cómo corresponde esta energía a la temperatura? Si observas, cuanto más caliente es algo, más energía tiene. La temperatura corresponde directamente con la cantidad de energía que hay. Sin embargo, ¿cómo es que una gran tina de agua y un pequeño cubo de agua tienen la misma temperatura si la primera tiene mucha más energía? Este es un punto interesante porque la temperatura es la Medida de la energía cinética promedio de las moléculas. Espera un segundo. ¿Promedio? ¿Por qué promedio ? Ahora veremos por qué es promedio al ver cómo se modela la probabilidad.

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Probabilidad de modelado

Suponga que es un examinador que corrige los exámenes. Si tiene 100 documentos para corregir, notará que de un posible 100, solo unos pocos se acercan. Además, solo unos pocos obtienen marcas cercanas a 0. Sin embargo, la mayoría de ellos obtendrán una marca que parece estar cerca el uno del otro. Esto significa que muchos estudiantes tienden a puntuar alrededor de las calificaciones promedio , con solo unos pocos extremos. El papel es idéntico, pero cada uno es distinguible.

Por interesante que parezca, los patrones de distribución tienden al valor promedio. Hay pocas personas que son muy altas, pocas personas que son muy bajas, pero la mayoría de ellas se encuentran en algún lugar alrededor del valor promedio. La propiedad de tener altura es idéntica pero distinguible entre diferentes personas.

Muchas distribuciones siguen un patrón similar a una forma de campana

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Esta es una parte importante para comprender la distribución porque en la Distribución de Maxwell-Boltzmann, cada partícula es idéntica pero distinguible. Cuando le das energía (por calor) a la muestra de moléculas de gas, lo más probable es que algunas obtengan mucha energía y otras no la obtengan. Sin embargo, la mayoría de ellos obtendrán más o menos la misma cantidad de energía, por lo tanto, tienden alrededor del promedio.

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La distribución

Seamos honestos, no podemos determinar la energía cinética exacta de cada molécula para cada instante de tiempo. Cuando las moléculas sufren colisiones, intercambian sus energías. ¡No podemos dar cuenta de más de mil millones de estas colisiones todo el tiempo! Más bien, sería mejor si hubiera algún tipo de distribución que explicara el número de moléculas que esperamos encontrar en cualquier instante con una cantidad particular de energía, ya que todas las moléculas no tienen la misma energía.

¡Mira, tenemos la distribución Maxwell-Boltzmann ! Al mirar la curva:

La distribución a dos temperaturas diferentes. El gráfico realmente representa el número de moléculas por energía vs. energía

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Podemos observar que las moléculas tienden a tener energía media. En cualquier instante dado a una temperatura particular, hay alguna probabilidad de que haya una serie de moléculas que tengan una energía particular. También hay un fenómeno interesante; Cuando la muestra es más cálida, la curva cambia. ¿Por qué?

Recuerde que una muestra más caliente tiene una temperatura más alta. Dado que una muestra más caliente tiene más energía, esto significa que la energía cinética promedio realmente ha aumentado (ya que el número de moléculas se mantuvo igual). Como la temperatura es una medida de la energía cinética promedio, podemos decir con seguridad que a temperaturas más altas el valor de la energía cinética promedio aumenta.

El área de la gráfica trazada da el número de moléculas debajo de ella. De eso se trata en realidad.

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Otras lecturas

  • La respuesta de Nissim Raj Angdembay a ¿Cómo se relaciona la temperatura con la energía?
  • La respuesta de Nissim Raj Angdembay a En teoría cinética molecular, ¿cómo es el volumen directamente proporcional a la temperatura si el volumen del contenedor no depende de la temperatura?
  • La respuesta de Nissim Raj Angdembay a ¿Los gases tienen volumen?

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