Hay diferentes maneras de hacerlo, aquí hay una que me gusta porque es simple y no requiere asumir demasiado, pero de ninguna manera es una derivación rigurosa.
Primero, consideraremos una partícula atrapada en una caja de 1 dimensión con longitud [matemática] l [/ matemática] y algo de velocidad promedio [matemática] v [/ matemática]. Vamos a ver cuánta fuerza genera la partícula en un lado de nuestra caja. El tiempo entre colisiones con el muro será [matemático] \ Delta t = \ frac {2 * l} {v} [/ matemático]. Que es solo la distancia que la partícula tiene que viajar dividió mi velocidad de movimiento. Cuando la partícula golpea la pared, su momento cambiará, suponiendo que la colisión sea completamente elástica, el cambio en el momento será [matemática] \ Delta p = 2p = 2mv [/ matemática].
La fuerza es un cambio en el momento por cambio en el tiempo, por lo que obtenemos que la fuerza promedio es:
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[matemáticas] F = \ dfrac {\ Delta p} {\ Delta t} = \ dfrac {mv ^ 2} {l} [/ matemáticas]
La presión es la fuerza sobre un área y el área por la longitud será el volumen:
[matemáticas] P = \ dfrac {F} {A} = \ dfrac {mv ^ 2} {Al} = \ dfrac {mv ^ 2} {V} [/ matemáticas]
Ahora que tenemos un término de volumen, puede tener más sentido considerar nuestra caja como tridimensional. La única diferencia que hace es que la fuerza en nuestra pared ahora se extiende entre 3 paredes y, por lo tanto, es un tercio de lo que solía ser.
[matemáticas] P = \ dfrac {mv ^ 2} {3V} [/ matemáticas]
Por el teorema de equipartición sabemos que la energía cinética y la temperatura están relacionadas. Para nuestra nueva caja tridimensional, la relación es:
[matemáticas] \ dfrac {3kT} {2} = \ frac {1} {2} mv ^ 2 [/ matemáticas]
sustituyendo obtendríamos la presión como:
[matemáticas] P = \ dfrac {kT} {V} [/ matemáticas]
pero eso es solo para una partícula, para N partículas tendríamos:
[matemáticas] P = \ dfrac {NkT} {V} [/ matemáticas]
o si prefieres pensar en unidades de lunares:
[matemáticas] P = \ dfrac {nRT} {V} [/ matemáticas]
Recuerde que R y k son iguales, solo que R es por mol yk es por partícula.
