Supongo que la gente podría significar cosas diferentes por “principio variacional”, pero así es como lo entiendo en base a lo que recuerdo del libro de texto de Shankar:
Si quisieras resolver el problema de la braquistocrona en la mecánica clásica (la forma de una diapositiva que te lleva del punto A al punto B más rápido) pero no sabías la respuesta, podrías aproximarla asumiendo que la forma era una parábola. Sin embargo, hay infinitas parábolas entre dos puntos. Debe comenzar asumiendo una parábola, luego encontrar todas las parábolas posibles que van entre los dos puntos, luego calcular qué tan rápido son todas y luego encontrar la más rápida de ellas. Terminas con una aproximación decente a la braquistocrona (que en realidad es una catenaria).
Un procedimiento similar puede funcionar en situaciones cuánticas.
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Supongamos que quiere saber, por ejemplo, la energía del estado fundamental de un potencial que es un cuarto puro. Un potencial cuadrático, el oscilador armónico, puede resolverse exactamente, pero con un cuarto no creo que pueda resolver analíticamente la ecuación diferencial.
Podría usar métodos numéricos para atacar el problema, pero a veces queremos una aproximación a lápiz y papel. En ese caso, una cosa razonable sería notar que aunque no conocemos la verdadera función de onda del estado fundamental, podemos adivinar que no es tan diferente de la función de onda del oscilador armónico.
Entonces, suponemos que el estado fundamental es gaussiano, pero no conocemos el ancho. Sin embargo, el estado fundamental es la energía más baja posible, y una vez que adivinamos la función de onda, podemos calcular esa energía. Entonces calculamos la energía del gaussiano en términos de potencial cuártico de su ancho, luego encontramos el mínimo de esa energía. Esto nos da una aproximación decente al estado fundamental y su energía.
Si queremos saber un poco más, podríamos probar un modelo con más parámetros. Por ejemplo, sabemos que el estado fundamental es par, por lo que podríamos probar un gaussiano multiplicado por un polinomio con algunos poderes pares. Esto nos daría algunos parámetros, y podríamos minimizar la energía con respecto a todos ellos.
A medida que agreguemos más grados de libertad a nuestra suposición, debemos acercarnos cada vez más a la verdadera energía del estado fundamental. Cuando descubra que agregar más grados de libertad ya no reduce la energía, probablemente esté muy cerca de la respuesta correcta.
