Me gusta la respuesta de Jay Wacker, pero creo que puede ser difícil de digerir sin antecedentes significativos.
En la mecánica cuántica, la función de onda de una partícula libre es solo una onda sinusoidal (o una superposición de ellas). La longitud de onda de la onda sinusoidal depende de la energía cinética. Cuanta más energía, más corta es la longitud de onda.
Sin embargo, tan pronto como se aleja de una función de energía potencial plana, descubre que se hace más difícil resolver la ecuación de Schrodinger. En algunos casos simples puede resolverlo, pero con frecuencia no puede.
Hay una idea simple para obtener una respuesta aproximada. Suponga que la función de energía potencial es una colina, y la partícula está en un estado de dispersión, lo que significa que tiene suficiente energía para subir la colina.
Clásicamente, a medida que la partícula sube la colina, tiene cada vez menos energía cinética, luego, a medida que baja por el otro lado, tiene más. Eso lleva a una idea para la función de onda cuántica: haga que la función de onda sea una onda sinusoidal, pero haga que la longitud de onda cambie para que sea más larga a medida que sube la colina (menos energía = longitud de onda más larga) y más corta a medida que baja la colina. Esta es la aproximación de WKB.
Como la ecuación de Schrodinger tiene un valor complejo, en realidad no usamos ondas sinusoidales, sino exponenciales complejos. Imaginemos que la partícula tiene energía total [matemática] E [/ matemática] y la energía potencial es [matemática] V (x) [/ matemática]. Entonces la energía cinética es [matemática] E – V (x) [/ matemática].
Una partícula libre tiene la función de onda [matemática] e ^ {- ikx} [/ matemática]. [matemáticas] k [/ matemáticas] es el número de onda. Nos dice qué tan rápido está cambiando la fase de la partícula en el espacio. Vamos a buscar una función de onda [math] e ^ {i \ phi (x)} [/ math]. [math] \ phi [/ math] es la fase de la función de onda, y para una partícula libre pura, [math] \ phi (x) = kx [/ math]. Sin embargo, estamos viendo una partícula cuya longitud de onda cambia, por lo que debemos estimar eso.
El momento asociado con una partícula libre es [matemática] p = \ hbar k [/ matemática]. (Recuerde que el operador de impulso es [matemática] i \ hbar \ frac {\ partial} {\ partial x} [/ matemática]. La energía cinética en la mecánica clásica es [matemática] p ^ 2 / 2m [/ matemática], que aquí se convierte en [matemáticas] \ frac {k ^ 2 \ hbar ^ 2} {2m} [/ matemáticas].
Esto nos da dos fórmulas diferentes para la energía cinética: una considerando el potencial y otra a través de la cinemática del momento y la energía. Pongamos estas dos energías cinéticas iguales.
[matemáticas] \ frac {k ^ 2 \ hbar ^ 2} {2m} = E – V (x) [/ matemáticas]
Esto nos permite resolver [matemáticas] k (x) [/ matemáticas]
[matemática] k (x) = \ frac {1} {\ hbar} \ sqrt {2m (E – V (x))} [/ matemática]
Pero, ¿qué es [matemáticas] k [/ matemáticas]? Es esencialmente la derivada de la fase [matemáticas] \ phi [/ matemáticas]. Si integramos [math] k [/ math], obtenemos la fase de la función de onda. Por lo tanto, podemos escribir
[matemáticas] \ Psi (x) = e ^ {- i \ phi (x)} [/ matemáticas]
con
[matemáticas] \ phi (x) = \ int k (x) \ textrm {d} x [/ matemáticas]
Esta es la aproximación WKB de primer orden. Es aplicable cuando la escala de longitud sobre la cual el potencial cambia significativamente es pequeña en comparación con [matemática] 1 / k [/ matemática].
Esta aproximación puede ser útil en cosas como el túnel cuántico y la dispersión. Sin embargo, se debe tener cuidado adicional para obtener buenas respuestas, especialmente si la energía cinética se vuelve negativa en algunos lugares.
