La forma que requiere el menor cálculo es realizar una descomposición 3 + 1 y generalizar usando invariancia rotacional. Es decir, esperamos que [math] \ Lambda ^ 0_0 [/ math] sea un escalar, mientras que [math] \ Lambda ^ 0_j [/ math] es un vector y [math] \ Lambda ^ i_j [/ math] es un (1,1) -tensor, todo con respecto a las rotaciones espaciales. Conociendo las formas de estos tres 3 tensores dentro de la matriz de refuerzo de Lorentz a lo largo de la dirección x, escribiremos fórmulas rotativamente invariantes para ellos en términos del vector [math] \ boldsymbol \ beta [/ math] que será consistente con este caso especial
Como digo, primero escriba el impulso de Lorentz a lo largo del eje x:
\ begin {pmatrix}
\ gamma y – \ beta \ gamma y 0 y 0 \\
– \ beta \ gamma y \ gamma y 0 y 0 \\
0 y 0 y 1 y 0 \\
0 y 0 y 0 y 1
\ end {pmatrix}
El elemento superior izquierdo, un escalar, simplemente debe ser invariable, es decir, independiente de la dirección de impulso. Físicamente, esto tiene sentido: la cantidad de dilatación de tiempo debe ser la misma sin importar en qué dirección se encuentre el impulso. Por lo tanto, siempre será [matemática] \ gamma [/ matemática].
La parte de 3 vectores [matemática] (- \ beta \ gamma, 0, 0) [/ matemática] se puede escribir en la forma [matemática] – \ gamma \ boldsymbol \ beta [/ matemática], solo un escalar multiplicado por un vector. Entonces, en general, tendremos [math] (- \ beta_x \ gamma, – \ beta_y \ gamma, – \ beta_z \ gamma) [/ math].
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La parte de la matriz 3, la matriz 3 × 3 que consiste en los componentes espacio-espacio de la matriz de transformación de Lorentz, se puede escribir como
\ begin {ecuación}
\ begin {pmatrix} \ gamma & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \ end {pmatrix} =
\ begin {pmatrix} 1 y 0 y 0 \\ 0 y 1 y 0 \\ 0 y 0 y 1 \ end {pmatrix} +
\ begin {pmatrix} \ gamma-1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \ end {pmatrix} = I + \ frac {\ gamma-1} {\ beta ^ 2} \ boldsymbol \ beta \ otimes \ boldsymbol \ beta
\ end {ecuación}
Esto es manifiestamente 3-covariante. Ahora, si sustituimos [math] \ boldsymbol \ beta = (\ beta_x, \ beta_y, \ beta_z) = (v_x / c, v_y / c, v_z / c) [/ math] obtenemos la parte de la matriz
\ begin {ecation} \ begin {pmatrix} 1 y 0 y 0 \\ 0 y 1 y 0 \\ 0 y 0 y 1 \ end {pmatrix} + \ frac {\ gamma – 1} {\ beta ^ 2} \ begin {pmatrix} \ beta_x \ beta_x & \ beta_x \ beta_y & \ beta_x \ beta_z \\ \ beta_y \ beta_x & \ beta_y \ beta_y & \ beta_y \ beta_z \\ \ beta_z \ beta_x & \ beta_z \ beta_y & \ beta_z \ beta_z \ end {pmatrix} \ end {ecation} y cuando ensamblas todas las piezas, el 3-escalar, el 3-vector y el 3-matriz, obtienes el resultado final, [matemáticas] \ begin {ecation} \ Lambda = \ begin {pmatrix} \ gamma & – \ beta_x \ gamma & – \ beta_y \ gamma & – \ beta_z \ gamma \\ – \ beta_x \ gamma & 1 + (\ gamma – 1) \ frac {\ beta_x ^ 2} {\ beta ^ 2} & (\ gamma – 1) \ frac {\ beta_x \ beta_y} {\ beta ^ 2} & (\ gamma – 1) \ frac {\ beta_x \ beta_z} {\ beta ^ 2} \\ – \ beta_y \ gamma & (\ gamma-1) \ frac {\ beta_y \ beta_x} {\ beta ^ 2} & 1 + (\ gamma – 1) \ frac {\ beta_y ^ 2} {\ beta ^ 2} & (\ gamma – 1) \ frac {\ beta_y \ beta_z} {\ beta ^ 2} \\ – \ beta_z \ gamma & (\ gamma – 1) \ frac {\ beta_z \ beta_x} {\ beta ^ 2} & (\ gamma – 1) \ frac {\ beta_z \ beta_y} {\ beta ^ 2} y 1 + (\ gamma – 1) \ frac {\ beta_z ^ 2} {\ beta ^ 2} \ end {pmatrix} \ end {ecuación} [/ math]
Voilà!
Otro método es una aplicación directa de la teoría de Lie, pero implica más cálculo. La idea es escribir un impulso infinitesimal en una dirección arbitraria, calcular la matriz de transformación “finita” de Lorentz tomando la matriz exponencial, determinar la velocidad de la matriz de impulso resultante y luego volver a expresar los componentes de la matriz en términos de componentes de velocidad. Esto se deja como un ejercicio para el lector.
