En primer lugar, se sabe que no hay una esfera exótica “en” [matemáticas] \ mathbb {R} ^ 4 [/ matemáticas], si por “en” quiere decir “tiene una incrustación en”. Esto se debe a que solo las esferas de dimensión [math] \ leq 3 [/ math] se integran en [math] \ mathbb {R} ^ 4 [/ math], y no hay estructuras lisas exóticas en esas dimensiones.
Hay dos tipos de estructuras lisas exóticas de 4 dimensiones estrechamente relacionadas con [math] \ mathbb {R} ^ 4 [/ math] y las esferas. A continuación se muestra mi opinión sobre por qué son importantes (¡además de ser súper interesantes para mí!). Tome esto con un grano de sal, ya que nunca he investigado sobre exóticos 4 múltiples.
Exóticos [math] \ mathbb {R} ^ 4 [/ math] ‘s
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Hay innumerables estructuras lisas exóticas en [math] \ mathbb {R} ^ 4 [/ math] en sí. El primer ejemplo se remonta a la década de 1980. Este fue un descubrimiento extremadamente importante, ya que muestra que en topología diferencial , no podemos ingenuamente “pegar una celda 4” a lo largo de su límite. Tenemos que decir exactamente en qué 4 celdas estamos pegando. Esto hace que la clasificación de 4 múltiples lisos sea mucho más difícil.
Exóticas [matemáticas] S ^ 4 [/ matemáticas] ‘s
También podría estar pensando en esferas exóticas de 4 dimensiones (que se integran en algunas [matemáticas] \ mathbb {R} ^ n [/ matemáticas], para [matemáticas] n> 4 [/ matemáticas]). Se conocen familias de candidatos para estos, pero en realidad ninguno se sabe que sea exótico. Una exótica [matemática] S ^ 4 [/ matemática] sería el ejemplo “mínimo” conocido de una variedad compacta exótica: no hay estructuras exóticas lisas en las dimensiones [matemática] \ leq 3 [/ matemática] y [matemática] S ^ 4 [/ math] es tan simple como un 4-manifold compacto puede ser.
¿Es esto “importante”? Creo que sí. Intuitivamente, pensamos en las variedades suaves como buenos modelos para la realidad. O al menos las partes de la realidad pueden observar directamente en la vida cotidiana (evitando singularidades). La existencia de estructuras lisas exóticas nos obliga a considerar una elección: existe la posibilidad de que existan estructuras lisas exóticas en la naturaleza (ya que el espacio-tiempo parece ser al menos de 4 dimensiones), o las variedades lisas pueden ser un modelo pobre de la realidad. . Y comprender qué construcciones matemáticas son buenos o malos modelos de realidad es tremendamente importante.
Referencias
El libro de Alexandru Scorpan , The Wild World of 4-manifolds, es una introducción completa a las exóticas estructuras lisas en 4-manifolds. Querrá tener una sólida comprensión de la topología diferencial y algebraica básica antes de sumergirse (por ejemplo, al nivel de un semestre en el nivel superior de pregrado / posgrado).
