Revisión de la mecánica clásica
En una escala macroscópica, el mundo se describe básicamente por 3 leyes, conocidas como las leyes del movimiento de Newton. Se pueden resumir de la siguiente manera:
- Cuando se ve desde un marco de referencia inercial, un objeto permanecerá en reposo o en movimiento con una velocidad constante a menos que una fuerza externa actúe sobre él.
- La fuerza sobre un objeto viene dada por la tasa de cambio de una cantidad conocida como momentum: [math] \ vec {F} = \ frac {d \ vec {p}} {dt} [/ math]. Esta es la forma más general de la familiar [matemáticas] \ vec {F} = m \ vec {a} [/ matemáticas].
- Cuando se ejerce una fuerza sobre el objeto 1 por el objeto 2, hay una fuerza igual y opuesta que actúa sobre el objeto 2 por el objeto 1. Otra forma de decir esto es que para cada acción, hay una reacción igual y opuesta.
Esto forma la base de la mecánica clásica. Sin embargo, hay otras formas de formularlo, a saber, la mecánica lagrangiana y hamiltoniana.
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La mecánica lagrangiana se ocupa de la minimización de la acción , que es el tiempo integral de la cantidad conocida como lagrangiana. El lagrangiano será una función de las posiciones (estas pueden ser más generales que las coordenadas cartesianas) y las velocidades (derivadas del tiempo de las posiciones). Además, para los sistemas clásicos, el lagrangiano será la diferencia entre la energía cinética y potencial:
[matemáticas] S [\ vec {q} (t)] = \ displaystyle \ int L (\ vec {q} (t), \ dot {\ vec {q}} (t), t) dt = \ displaystyle \ int (T (\ dot {\ vec {q}}) – V (\ vec {q})) dt [/ math]
Cuando minimizamos esta función, obtenemos las llamadas ecuaciones de Euler-Lagrange:
[matemáticas] \ displaystyle \ frac {\ partial L} {\ partial q ^ i} – \ frac {d} {dt} \ frac {\ partial L} {\ partial \ dot {q} ^ i} = 0 [/ matemáticas]
Esto nos da una mejor manera de hablar sobre cantidades conservadas. Generalmente definimos el impulso como [matemática] p_i \ equiv \ frac {\ partial L} {\ partial \ dot {q} ^ i} [/ math]. Podemos ver por qué esta es una buena definición a partir de un ejemplo. Si tenemos un Lagrangiano donde [matemáticas] T = \ frac {1} {2} m (\ dot {x} ^ 2 + \ dot {y} ^ 2) [/ matemáticas], y [matemáticas] U = \ frac {1} {2} kx ^ 2 [/ math], entonces las ecuaciones de Euler-Lagrange nos dan:
[matemáticas] kx- \ frac {d} {dt} (m \ dot {x}) = kx-m \ vec {a} _x = 0 [/ matemáticas]
[matemáticas] \ frac {d} {dt} (m \ dot {y}) = 0 [/ matemáticas]
Claramente a partir de este ejemplo, podemos ver que el impulso de una determinada posición se conserva cuando el lagrangiano no depende de una determinada coordenada, es decir, [matemática] \ frac {\ parcial L} {\ parcial q ^ i} = 0 [/ matemáticas].
Ahora, consideremos la mecánica hamiltoniana. En la mecánica hamiltoniana, un sistema se describe mediante un conjunto de coordenadas [matemáticas] (\ vec {q}, \ vec {p}) [/ matemáticas]. Aquí, los componentes de [math] \ vec {q} [/ math] y [math] \ vec {p} [/ math] describe las posiciones geométricas y sus momentos conjugados (como se definió anteriormente). Podemos definir el hamiltoniano como la “transformación Legendre” del lagrangiano, es decir
[matemáticas] H (\ vec {q}, \ vec {p}, t) = \ sum \ limits_i \ dot {q} ^ ip_i-L (\ vec {q} (t), \ dot {\ vec {q }} (t), t) [/ matemáticas]
Entonces, podemos ver fácilmente que:
[matemática] dH = \ sum \ limites_i \ izquierda [\ frac {\ parcial H} {\ parcial q ^ i} dq ^ i + \ frac {\ parcial H} {\ parcial p_i} dp_i \ derecha] + \ frac {\ parcial H} {\ parcial t} dt [/ matemáticas]
Tomando el diferencial de la ecuación de transformación de Legendre anterior, podemos mostrar fácilmente que [math] \ frac {dp_i} {dt} = – \ frac {\ partial H} {\ partial q ^ i} [/ math], [math] \ frac {dq ^ i} {dt} = \ frac {\ partial H} {\ partial p_i} [/ math] y [math] \ frac {\ partial H} {\ partial t} = – \ frac {\ parcial L} {\ parcial t} [/ math]. Estas se llaman ecuaciones de movimiento de Hamilton.
Podemos generalizar esto a cualquier función de las posiciones y momentos. Si definimos lo que se llama ” Brackets de Poisson ” como [matemáticas] \ {f (q, p), g (q, p) \} _ {PB} = \ sum \ limits_i \ left [\ frac {\ partial f} {\ partial q ^ i} \ frac {\ partial g} {\ partial p_i} – \ frac {\ partial g} {\ partial q ^ i} \ frac {\ partial f} {\ partial p_i} \ right] [ / math], entonces podemos demostrar que cualquier función de las posiciones y momentos satisface [math] \ frac {df} {dt} = \ {f, H \} _ {PB} + \ frac {\ partial f} {\ parcial t} [/ math] (Sugerencia: solo use la regla de la cadena). Además, tenga en cuenta que [matemáticas] \ {q ^ i, p_j \} _ {PB} = \ delta ^ i_j [/ matemáticas]. Este es el delta de Kronecker, y es igual a 1 cuando i = j y es 0 de lo contrario.
Como podemos ver, hasta ahora en esta discusión de la mecánica clásica, hemos estado hablando mucho sobre posiciones y momentos. Básicamente, estos son lo que se llaman “coordenadas de espacio de fase”. Probablemente ya haya adivinado que en la mecánica clásica, describimos nuestro sistema por sus coordenadas en el espacio de fase, de las cuales hay 6. Podemos generalizar fácilmente esta noción a las partículas N, en cuyo caso, hay coordenadas de espacio de fase 6N. Un estado microscópico está representado por un punto en el espacio de fase y el movimiento del sistema general está representado por una curva en el espacio de fase. Las coordenadas en el espacio de fase (posiciones + momentos para la mecánica hamiltoniana) evolucionan de acuerdo con sus ecuaciones de movimiento como se indicó anteriormente. Un estado macroscópico corresponderá a muchos puntos microscópicos diferentes en el espacio de fase.
Primera cuantización: de la mecánica clásica a la cuántica
En mecánica cuántica, existe una noción fundamental de un estado físico. Estos estados pertenecen a un espacio “vector” llamado espacio de Hilbert (una especie de vectores similares en el espacio real, pero es un poco más abstracto: pueden ser funciones, vectores ordinarios, vectores de 2 componentes, hiladores, etc.), lo que significa que se pueden sumar para dar un nuevo estado, que también está en el espacio de Hilbert. Esto se llama el principio de superposición. Estos estados están representados por la notación de brackets de Dirac: [math] | \ Psi \ rangle \ in \ mathcal {H} [/ math].
Otra parte distintiva de la mecánica cuántica es que las coordenadas que describimos anteriormente, junto con la Hamiltoniana, etc. (básicamente las variables dinámicas) se promueven a operadores que actúan linealmente en el espacio de Hilbert (que se comportan como matrices en los espacios vectoriales regulares). que aprendemos en álgebra lineal). Esto significa que si actuamos como operador [math] \ hat {A} [/ math] en un estado [math] | \ Psi \ rangle [/ math], obtenemos otro estado que también está en el espacio de Hilbert.
Los operadores que actúan en el espacio de Hilbert no necesariamente viajan diariamente . Sin embargo, en el límite clásico (es decir, [math] \ hbar \ rightarrow 0 [/ math]), los operadores se convierten efectivamente en números / variables y, por lo tanto, deben conmutar. Existe un procedimiento para tomar sistemas clásicos y hacerlos cuánticos, llamado cuantización canónica : [matemática] \ {q ^ i, p_j \} _ {PB} \ rightarrow \ frac {1} {i \ hbar} [\ hat {q} ^ i, \ hat {p} _j] [/ math]. Básicamente, lo que estamos haciendo es decir que estos operadores deben satisfacer las relaciones de conmutación canónica: [matemáticas] [\ hat {q} ^ i, \ hat {p} _j] \ equiv \ hat {q} ^ i \ hat { p} _j- \ hat {p} _j \ hat {q} ^ i = i \ hbar \ delta ^ i_j [/ math]. Particularmente, si dos operadores no conmutan (es decir, su conmutador no es cero), esto lleva al Principio de incertidumbre de Heisenberg, que nuevamente desaparece en el límite clásico. Hay algunas sutilezas, pero cuando digo que desaparece en el límite clásico, solo quiero decir que esa afirmación se convierte en 0 = 0 [1]. Este es el procedimiento que Dirac presentó en su tesis doctoral en 1926
Por lo tanto, como podemos ver, esta prescripción es suficiente para hacer que los sistemas clásicos sean mecánicos cuánticos. Hemos reemplazado las coordenadas (y otras variables dinámicas como la hamiltoniana) con operadores que actúan en el espacio de estados. Estos operadores, debido a que no conmutan, no pueden diagonalizarse simultáneamente y, por lo tanto, dan lugar a las principales diferencias entre la mecánica clásica y la mecánica cuántica.
Ahora, dentro del mismo marco, hay otro esquema de cuantificación llamado Cuantización integral de ruta . En la discusión anterior, lo que hemos hecho se habla principalmente sobre los corchetes de Poisson del sistema. Sin embargo, esto depende del hamiltoniano del sistema y, a veces, nos gustaría hablar sobre el lagrangiano. La formulación integral del camino es el camino a seguir. La forma de cuantificar la teoría se hace así: comenzamos con una [matemática] L [/ matemática] lagrangiana de nuestro sistema. Luego, a cada configuración de nuestro sistema (es decir, trayectoria a través del espacio de fase), asignamos un factor de [matemáticas] \ exp \ left [\ frac {i} {\ hbar} \ int \ limits_ {t_i} ^ {t_f} dt ~ L (q, \ dot {q}) \ right] [/ math] [2]. Finalmente, anotamos la amplitud de encontrar nuestro sistema en una determinada configuración [math] q_f [/ math] en [math] t_f [/ math] como:
[matemáticas] \ langle q_f, t_f | q_i, t_i \ rangle = \ displaystyle \ int \ mathcal {D} q \ exp \ left [\ frac {i} {\ hbar} \ int \ limits_ {t_i} ^ {t_f} dt ~ L (q, \ dot {q}) \ right] [/ math]
La derivación se puede encontrar en [2]. Entonces, podemos ver que tenemos que sumar las posibles configuraciones del sistema para obtener la amplitud completa. Esta es la suma de las historias de Feynman, que se presentó en su tesis doctoral en 1942 (aunque creo que Dirac tuvo esta idea en algún momento de 1930).
En el límite clásico, [math] \ hbar \ rightarrow 0 [/ math], el factor exponencial oscila rápidamente para las rutas cuya acción [math] S \ equiv \ int \ limits_ {t_i} ^ {t_f} dtL (q, \ dot {q}) [/ math] es una cantidad muy grande. Las amplitudes de estos caminos se cancelarán entre sí si están muy lejos del camino con el menor valor de la acción. Por lo tanto, nos queda la restricción de que en el límite clásico, la única historia que contribuye es la que tiene menos acción, es decir, el principio de menor acción.
Estos tipos de cuantización son los que se encuentran más comúnmente en los libros de texto sobre mecánica cuántica y dan una receta exacta sobre cómo cuantificar las teorías clásicas. Sin embargo, puede haber sistemas que no permiten un Hamiltoniano o Lagrangiano (creo que los sistemas con disipación, fricción o viscosidad son ejemplos). Existen otros tipos de cuantización que son objeto de mucha investigación, a saber, la cuantización geométrica que nos permite cuantificar estos sistemas.
Segunda cuantización: de la teoría del campo clásico a la teoría del campo cuántico
Hasta ahora, todo lo que hemos hablado es la mecánica clásica / cuántica de una partícula, donde todo se describe en términos de las posiciones y momentos de las partículas. Sin embargo, parece que las descripciones más fundamentales del universo están en términos de campos. Nuestro primer ejemplo real de una teoría de campo fue la gravedad newtoniana, que se describe mediante un campo escalar no relativista. Más allá de eso, nuestra comprensión moderna nos lleva a ver que el electromagnetismo y la gravedad de Einstein se describen mediante campos relativistas vectoriales y tensoriales, respectivamente. Entonces, también nos gustaría describir la mecánica cuántica de los campos. Esto se llama “teoría del campo cuántico” y es la base de la mayoría de la investigación teórica moderna.
La forma de cuantificar los campos es agudamente el mismo procedimiento que en la mecánica cuántica, pero en lugar de una coordenada de posición, interpretamos el objeto básico como el campo. Entonces, lo que hacemos en la cuantización canónica es imponer las relaciones de conmutación en el mismo tiempo entre el campo [math] \ Phi (x, t) [/ math] y su momento canónicamente conjugado [math] \ Pi (x, t) \ equiv \ frac {\ delta \ mathcal {L}} {\ delta \ dot {\ Phi} (x, t)} [/ math], [math] [\ Phi (x, t), \ Pi (y, t) ] = i \ delta (xy) [/ math] y promueve los campos a operadores de campo.
De manera similar para la cuantización integral de la trayectoria de la teoría de campo cuántico, escribimos lo que se llama la “amplitud de persistencia de vacío”:
[math] \ mathcal {Z} [0] = \ displaystyle \ int \ mathcal {D} \ Phi ~ e ^ {i \ mathcal {S} (\ Phi, \ partial \ Phi)} [/ math]
Nuevamente, la derivación está allí de la teoría cuántica de campos y está en referencia [2].
Una forma genial de interpretar esto es si hacemos una rotación Wick en el espacio euclidiano desde el espacio dimensional [matemático] d [/ matemático] con una dimensión de tiempo (identificando [matemático] t = i \ tau [/ matemático]), entonces el vacío ¡La amplitud de persistencia se interpreta básicamente como la función de partición de la misma teoría en [math] d + 1 [/ math] dimensiones espaciales euclidianas!
Luego, interpretamos los estados propios del campo como excitaciones elementales del operador de campo, es decir, para el campo electromagnético interpretamos las excitaciones como fotones (hay algunas sutilezas con respecto a la construcción de la amplitud de persistencia de vacío para campos de medición, como el campo electromagnético) y requiere algo llamado fantasmas de Faddeev Popov para que tenga sentido, pero esto es más técnico de lo que se requiere para esta respuesta).
Notas al pie
[1] Límite clásico de conmutador
[2] http: //eduardo.physics.illinois….
