¿Por qué el tiempo ‘[matemáticas] t [/ matemáticas]’ en la ecuación [matemáticas] ds ^ 2 = – (cdt) ^ 2 + dx ^ 2 + dy ^ 2 + dz ^ 2 [/ matemáticas]?

Considerando tanto el título de la pregunta como los detalles:

Primero una aclaración. El intervalo espacio-tiempo [matemáticas] ds ^ 2 [/ matemáticas] tiene que ver con la distancia física (porque todos los observadores están de acuerdo en su valor) entre puntos en el espacio-tiempo de Minkowski, que es un espacio-tiempo plano, un espacio-tiempo con curvatura cero. En los detalles, habla sobre el espacio-tiempo de flexión de masa que implica una curvatura distinta de cero. En este caso, el intervalo de espacio-tiempo sería diferente del que corresponde al espacio-tiempo de Minkowski.

Entonces, el resto de esta respuesta explicaré por qué está presente la coordenada del tiempo en cualquier intervalo espacio-tiempo:

Todo se reduce a [matemáticas] ds ^ 2 [/ matemáticas] es la distancia física en el espacio-tiempo, no en el espacio.

La coordenada del tiempo está en cada intervalo espacio-tiempo porque [math] ds ^ 2 [/ math] es la distancia física en el espacio-tiempo . Es la distancia entre dos puntos en el espacio-tiempo. Si dibujara una esfera en una hoja de papel, esos puntos serían solo dos puntos en el espacio, dos puntos en la esfera. Pero en un espacio-tiempo, esos puntos son eventos. Un evento es como “Empecé a leer esta pregunta en xx: xx en punto mientras estaba sentado en mi sofá”. Entonces, un evento, un punto en el espacio-tiempo, se define por dónde y cuándo sucedió. Entonces, si va a encontrar la distancia entre dos puntos en dicho espacio, debe considerar todas las coordenadas que definen esos puntos, por lo que en un espacio-tiempo también debe considerar la coordenada del tiempo.

Por último, la curvatura no solo tiene que ver con las coordenadas espaciales; las longitudes no cambian solo para coordenadas espaciales sino también para la coordenada de tiempo. Si la distancia física en el espacio-tiempo tiene que ver tanto con el tiempo como con las coordenadas espaciales, ¿por qué uno esperaría que la curvatura del espacio-tiempo solo tenga un efecto en las distancias en el espacio (no en el espacio-tiempo)? Sobre por qué la velocidad de la luz [matemáticas] c [/ matemáticas] está presente en el lado de [matemáticas] dt [/ matemáticas], es solo para darnos dimensiones de longitud.

Nota : la pregunta original era “¿Por qué el tiempo” [matemáticas] t [/ matemáticas] “en la ecuación [matemáticas] ds ^ 2 = – (cdt) ^ 2 + dx ^ 2 + dy ^ 2 + dz ^ 2 [/ ¿matemática]? ”también, los detalles de la pregunta fueron“ Cuando la masa dobla el espacio-tiempo, las dimensiones [matemática] x, y, z [/ matemática] se deforman haciendo que la longitud aumente entre 2 puntos. ¿Por qué ‘[math] t [/ math]’ y ‘[math] c [/ math]’ tienen un papel en la ecuación? ”

Si tiene dos puntos en el espacio newtoniano, uno con coordenadas [matemáticas] (x, y, z) [/ matemáticas] y el otro [matemáticas] (x + dx, y + dy, z + dz) [/ matemáticas], entonces el cuadrado de la distancia [matemática] r [/ matemática] entre ellos es

[matemáticas] \ quad r ^ 2 = dx ^ 2 + dy ^ 2 + dz ^ 2 [/ matemáticas].

Con la relatividad especial de Einsteins, hay una cuarta coordenada para un punto en el espacio-tiempo. Es la hora, pero se comporta de manera diferente a las otras tres coordenadas. Esto es en realidad algo llamado espacio de Minkowski. Si tiene dos puntos en el espacio-tiempo, uno con coordenadas [matemáticas] (t, x, y, z) [/ matemáticas] y el otro [matemáticas] (t + dt, x + dx, y + dy, z + dz) [/ math], entonces el cuadrado del intervalo espacio-tiempo [math] ds [/ math] entre ellos es

[matemáticas] \ quad ds ^ 2 = -c ^ 2 \, dt ^ 2 + dx ^ 2 + dy ^ 2 + dz ^ 2 = r ^ 2-c ^ 2 \, dt ^ 2 [/ matemáticas]

donde [matemáticas] c [/ matemáticas] es la velocidad de la luz.

Tenga en cuenta que este intervalo espacio-tiempo puede ser negativo o cero. Si es cero, entonces el intervalo entre ellos se llama “similar a la luz” ya que en el tiempo [matemática] dt [/ matemática] la luz viajará la distancia [matemática] r [/ matemática]. Si es positivo, se llama “spacelike”. Si es negativo, se llama “temporal”. Si hay dos puntos en el espacio-tiempo que están separados por un intervalo temporal, entonces hay algún marco de referencia inercial en el que tienen las mismas coordenadas espaciales. Por otro lado, si dos puntos en el espacio-tiempo que están separados por un intervalo similar a un espacio en blanco, entonces hay algún marco de referencia en el que tienen las mismas coordenadas de tiempo, es decir, son simultáneos en ese sistema de coordenadas.

como todos sabemos, la derivada es una tasa de cambio

en tu ecuación estás diferenciando s (desplazamiento de un cuerpo)

como todos sabemos que cuando cambia el desplazamiento de un cuerpo, lleva algún tiempo cambiar la posición de un cuerpo que es [matemática] dt ^ 2 [/ matemática]

y x, y, z es un plano tridimensional

Parece que estás en un espacio de Minkowski. Allí el tiempo es importante.

Mira aquí:

Espacio Minkowski – Wikipedia

Salud

En la ecuación dada … la cantidad s depende de cuatro factores, a saber t, x, y & z.