¿Cómo demostró Einstein la teoría especial de la contracción de la longitud de la relatividad (parte)?

¿De verdad quieres saber? Las matemáticas siguen … (nivel de álgebra de la escuela secundaria, pero aún así).

Einstein trabajó a partir de dos postulados, los cuales habían sido confirmados muchas veces por experimento, y desde entonces han sido confirmados repetidamente por experimento.

  • No hay un “marco de referencia” preferido en el Universo; Todo movimiento es relativo. Este fue el Principio de Relatividad de Galileo, que expresó maravillosamente como el barco de Galileo.

Cállate con un amigo en la cabina principal debajo de las cubiertas en un barco grande, y lleva contigo algunas moscas, mariposas y otros pequeños animales voladores. Tenga un tazón grande de agua con un poco de pescado; cuelgue una botella que se vacía gota a gota en un recipiente ancho debajo de ella. Con el barco parado, observe cuidadosamente cómo los pequeños animales vuelan con la misma velocidad a todos los lados de la cabina. Los peces nadan indiferentemente en todas las direcciones; las gotas caen en el recipiente debajo; y, al arrojarle algo a tu amigo, no debes lanzarlo con más fuerza en una dirección que en otra, las distancias son iguales; saltando con los pies juntos, pasas espacios iguales en todas las direcciones. Cuando haya observado todas estas cosas cuidadosamente (aunque sin duda cuando el barco está parado todo debe suceder de esta manera), haga que el barco avance con la velocidad que desee, siempre que el movimiento sea uniforme y no fluctúe de un lado a otro. No descubrirá el menor cambio en todos los efectos nombrados, ni podría saber por ninguno de ellos si la nave se estaba moviendo o estaba parada.

¡Tenga en cuenta que está haciendo el experimento de la Nave de Galileo incluso mientras lee esto! Te estás moviendo a una velocidad vertiginosa en este momento. Ver: ¿Qué tan rápido te mueves cuando estás parado ?, por ejemplo. En física, esto se traduce en “la velocidad no tiene sentido excepto con respecto a un marco de referencia” – No puedo decir “la pelota se mueve a 60 metros por segundo”; Tengo que decir “la pelota se mueve a 60 metros por segundo con respecto a mí “. Y esta es nuestra experiencia común: si te alejas de mí a 30 metros por segundo y lanzo una pelota detrás de ti a 60 metros por segundo, verás que la pelota se mueve hacia ti a 30 metros por segundo. Una consecuencia de esto es que la velocidad no puede aparecer en la ley física . No podemos, por ejemplo, decir que la luz se mueve a la velocidad c ; Tenemos que decir que la luz se mueve a la velocidad c con respecto al aparato de laboratorio.

  • La luz se mueve exactamente a c.

Lo leíste bien. No “[matemática] c [/ matemática] con respecto al aparato de laboratorio”. [matemáticas] c [/ matemáticas]. Si te alejas de mí a 30 metros por segundo, y envío un rayo de luz después de ti, verás que el rayo se dirige hacia ti exactamente a [matemáticas] c [/ matemáticas], no a [matemáticas] c – 30 [/ matemáticas].

Si crees que esos dos postulados están en contradicción directa, tienes toda la razón . Pero ambos habían sido confirmados muchas veces por experimento. El postulado n. ° 2 provenía de las ecuaciones de Maxwell, que (todavía hoy) son la base del electromagnetismo, y habían sido confirmadas por el experimento de Michelson-Morley y el experimento de Fizeau.

De modo que ambos postulados eran verdaderos y estaban en contradicción directa.

Einstein se dio cuenta de que la única forma en que ambos podrían ser ciertos era si los observadores en movimiento midieran el tiempo y el espacio de manera diferente, por lo que calculó el mapa. Einstein se sentó a considerar la siguiente pregunta. Supongamos que Alice se mueve a velocidad [matemática] v [/ matemática] con respecto a Bob. Alice mide las coordenadas espacio-temporales de los eventos como [math] (x, t) [/ math]. Bob los mide como [matemáticas] (X, T) [/ matemáticas]. Por conveniencia, asumimos que están de acuerdo con el punto [matemáticas] (0, 0) [/ matemáticas]. Dada la medición de Bob [matemáticas] (X, T) [/ matemáticas], de un evento, ¿puedo determinar la medición de Alice [matemáticas] (x, t) [/ matemáticas]?

Einstein sabía que la transformación tenía que ser lineal, así que comencemos con las ecuaciones lineales:

[matemáticas] x = aX + bT [/ matemáticas]

[matemáticas] t = eX + fT [/ matemáticas]

También debemos tener, por supuesto

[matemáticas] X = hacha + bt [/ matemáticas]

[matemáticas] T = ex + pies [/ matemáticas]

donde [math] a, b, e, f [/ math] son ​​algunas funciones de [math] v [/ math] que se determinarán más adelante. Dado que Alice se mueve a velocidad [matemática] v [/ matemática] con respecto a Bob, las coordenadas de Alice en el espacio-tiempo de Bob están en la línea [matemática] (vT, T) [/ matemática]; en Alice están en el eje [matemática] x = 0 [/ matemática], entonces

[matemáticas] vT = bt [/ matemáticas]

[matemáticas] T = ft [/ matemáticas]

Aplicando álgebra de secundaria, [matemáticas] vft = bt, b = vf [/ matemáticas]. Observe de inmediato que [math] v = b / f [/ math], entonces [math] f \ neq 0 [/ math], o [math] v [/ math] sería infinito.

El postulado dos dice que si Alice mide un evento en [math] (c, 1) [/ math], Bob lo mide en [math] (cT, T) [/ math]. Poniendo estos en:

[matemáticas] cT = ac + b [/ matemáticas]

[matemáticas] T = ec + f [/ matemáticas]

Así

[matemáticas] ac + b = c (ec + f) [/ matemáticas]

Además, si Alice mide un evento en [math] (- c, 1) [/ math], Bob lo mide en [math] (- cT, T) [/ math], entonces

[matemáticas] cT = ac – b [/ matemáticas]

[matemáticas] T = f – ec [/ matemáticas]

[matemáticas] c (f – ec) = ac – b [/ matemáticas]

Ahora tenemos dos ecuaciones:

[matemáticas] ac + b = ec ^ 2 + fc [/ matemáticas]

[matemáticas] ac – b = fc – ec ^ 2 [/ matemáticas]

Si los sumamos, obtenemos:

[matemáticas] 2ac = 2c f [/ matemáticas]

[matemáticas] a = f [/ matemáticas]

Si los restamos, obtenemos

[matemáticas] 2b = 2ec ^ 2, b = ec ^ 2, vf = ec ^ 2, e = vf / c ^ 2 [/ matemáticas]

Ahora tenemos todo en términos de una sola variable, [matemáticas] f [/ matemáticas]

[matemáticas] x = cfX + vfT [/ matemáticas]

[matemáticas] t = \ frac {vf} {c ^ 2} X + fT [/ matemáticas]

Y todo lo que tenemos que hacer es determinar [matemáticas] f [/ matemáticas]. Como sucede, el símbolo convencional de lo que he estado llamando [matemáticas] f [/ matemáticas] es [matemáticas] \ gamma [/ matemáticas], así que volveré a escribir esto

[matemáticas] x = \ gamma (X + vT) [/ matemáticas]

Ahora, la transformación inversa es

[matemáticas] X = \ gamma (x – vt) [/ matemáticas]

sustituyendo

[matemáticas] x = \ gamma (\ gamma (x – vt) + vT) [/ matemáticas]

o

[matemática] \ gamma v T = x – \ gamma ^ 2 x + \ gamma ^ 2 vt [/ matemática]

o

[matemáticas] T = \ gamma t + x \ frac {1 – \ gamma ^ 2} {v \ gamma} [/ matemáticas]

Si tenemos un haz de luz, esto tendrá [math] X = cT [/ math], entonces

[matemáticas] \ gamma (x – vt) = c (\ gamma t + x \ frac {1 – \ gamma ^ 2} {v \ gamma}) [/ math]

[matemáticas] \ gamma x – \ gamma vt = c \ gamma t + cx \ frac {1 – \ gamma ^ 2} {v \ gamma} [/ math]

[matemática] v \ gamma ^ 2 x – \ gamma ^ 2 v ^ 2 t = vc \ gamma ^ 2 t + cx (1 – \ gamma ^ 2) [/ math]

[matemáticas] x (v \ gamma ^ 2 + c \ gamma ^ 2 – c) = t \ gamma ^ 2 v (c + v) [/ matemáticas]

Para el cono de luz, [matemáticas] x = ct [/ matemáticas]

[matemáticas] ct (v \ gamma ^ 2 + c \ gamma ^ 2 – c) = t \ gamma ^ 2 v (c + v) [/ matemáticas]

[matemáticas] c (v \ gamma ^ 2 + c \ gamma ^ 2 – c) = \ gamma ^ 2 v (c + v) [/ matemáticas]

[matemáticas] cv \ gamma ^ 2 + c ^ 2 \ gamma ^ 2 – c ^ 2 = \ gamma ^ 2 vc + v ^ 2 \ gamma ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ gamma ^ 2 (c ^ 2 – v ^ 2) = c ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ gamma ^ 2 = \ frac {c ^ 2} {c ^ 2 – v ^ 2} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ gamma ^ 2 = \ frac {1} {1 – \ frac {v ^ 2} {c ^ 2}} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ gamma = \ sqrt {\ frac {1} {1 – \ frac {v ^ 2} {c ^ 2}}} [/ matemáticas]

Ta da! Tenemos la transformación de Lorentz. Henrik Lorentz lo había sugerido previamente, sobre la base de consideraciones geométricas, para explicar el experimento de Michelson-Morley, pero sin ningún fundamento real. La contribución de Einstein fue mostrar que era una consecuencia necesaria de los dos postulados, que (no puedo decir lo suficiente) se han encontrado como ciertos por experimento .

Esta derivación, por cierto, es solo una forma ligeramente simplificada de Einstein.

Ten mucho cuidado con el lenguaje. Einstein NO ‘probó’ la teoría de la relatividad. El lo postuló. Lo propuso, y la única evidencia que apoya la teoría (en ese momento, en 1905) fue el fracaso de Michaelson y Morley para encontrar un éter.

Las propuestas de Einstein en ese año fueron dobles: 1. Que todos los observadores vean la velocidad de la luz a la misma velocidad, independientemente de su movimiento y que 2. La luz tiene masa, ya que se ve afectada por la gravedad.

El mundo esperó hasta que una observación de un eclipse solar en 1919 demostró que las estrellas muy cercanas al sol eclipsado movían su posición aparente. Esto demostró que la gravedad afectaba a la luz. Esta es la observación que hizo a Einstein tan famoso.

Esa fue la primera prueba (demostración …), muchas, muchas otras siguieron en el siglo XX.

Einstein demostró que la teoría de la relatividad especial es parte de la contracción de la longitud por la fórmula matemática.

Einstein imaginó un experimento mental en el que imagina que una nave espacial con alta velocidad sale por la Tierra y vuelve a repetir.

Entonces, si el observador en la nave espacial encuentra menos tiempo para viajar, también observó menos distancia porque la velocidad es constante.

Entonces no solo para la distancia también de longitud relativista.

L es siempre más que L0.

Gracias

Por gedanken, experimento mental.

Bases experimentales de relatividad especial

… y más buena lectura allí también.

En lugar de probarlo, lo derivó de simples postulados. Sin embargo, creo que sus postulados no reflejan la realidad.

Un tipo que ganó el Premio Nobel de Física, Wilczek, y un tipo que no (yo) parece pensar que la Relatividad Especial no es del todo correcta (al menos eso creo). Escribió que la luz viaja a través de campos eléctricos y magnéticos, y (independientemente) dije lo mismo (más o menos). Éter

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