No.
Entonces, este es otro caso en el que los físicos no deberían estar nombrando cosas. El principio de menor acción realmente debería llamarse principio de acción estacionaria , porque como usted señala correctamente, el concepto de
[matemáticas] \ delta S = 0 [/ matemáticas]
realmente se trata de encontrar puntos estacionarios:
- mínimos locales
- máximos locales
- puntos de silla locales (¡estos cuentan!)
En cuanto al nombre en sí, creo que una de las razones por las que se atascó tiene que ver con la QED de Feynman y los estudios sobre Óptica y QM. Aquí, el principio del tiempo mínimo (principio de Fermat) es bastante frecuente y su comprensión podría ayudar a comprender la formulación clásica de la mecánica lagrangiana.
Báez tiene notas de clase increíbles aquí sobre cómo derivarlo de lo que creo que es muy intuitivo. Presentaré una breve descripción de por qué podríamos esperar que sea la “menor” acción.
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La energía cinética en función del tiempo depende directamente de la masa y el cuadrado de la velocidad (agregué vectores para enfatizar realmente lo que está sucediendo)
[matemáticas] K (t) = \ frac {1} {2} m (t) \ vec {v} (t) \ cdot \ vec {v} (t) [/ matemáticas]
que tiene una derivada interesante
[matemáticas] \ dot {K} (t) = \ vec {F} \ left (q (t) \ right) \ cdot \ vec {v} (t) = \ left | \ vec {F} \ right | \ left | \ vec {v} \ right | \ cos \ left (\ theta \ right) [/ math]
Observe cómo esta derivada establece que “la energía cinética aumenta al máximo cuando la fuerza aplicada es a lo largo de la dirección del movimiento del objeto”. Disminuye cuando la fuerza se aplica en la dirección completamente opuesta al movimiento del objeto.
Esto lleva a una conservación de la energía cinética si y solo si [math] \ nabla \ times F = 0 [/ math], lo cual es cierto si y solo si [math] F = – \ nabla U [/ math] para algún potencial [matemáticas] U [/ matemáticas]. Entonces tenemos una energía total que podemos mostrar que se conserva. A partir de esto, definimos el lagrangiano
[matemáticas] L (t) = K (t) – U (t) [/ matemáticas]
y la acción
[matemáticas] S (q) = \ int_ {t_0} ^ {t_1} L (t) \ dt [/ matemáticas]
Ahora, imagine una curva que es la ruta correcta tomada (acción mínima), [matemática] q [/ matemática], y aplique un parámetro variacional [matemática] s [/ matemática]. Entonces, lo que estamos buscando es una curva tal que
[matemática] \ izquierda. \ frac {d} {ds} S (q_s) \ derecha | _ {s = 0} = 0 [/ matemática]
donde [matemática] q_s = q + s \ delta q [/ matemática] y [matemática] \ delta q (t_0) = \ delta q (t_1) = 0 [/ matemática]. Esto nos permite encontrar curvas para las cuales la acción no cambia, y la forma en que se configuró anteriormente, esta ruta tiene una acción estacionaria.
Haremos estos supuestos si y solo si [math] F = ma [/ math] (2da Ley de Newton). Esto se hace simplemente al poder mostrar con éxito que
[matemáticas] \ left. \ frac {d} {ds} S (q_s) \ right | _ {s = 0} = \ int_ {t_0} ^ {t_1} [-m \ ddot {q} – \ nabla U] \ cdot \ delta q \ dt [/ math]
que muestra que la ruta [math] q [/ math] es un punto estacionario de la acción [math] S (q) [/ math] si y solo si [math] F = ma [/ math].
Entonces, entendiendo la derivación, se convierte en una cuestión de …
¿Por qué a la naturaleza le gusta minimizar la acción?
Es bastante notorio que en una gran cantidad de casos, la acción se minimiza. La acción es claramente mayor cuando hay más energía cinética en el sistema (fuerzas que actúan a lo largo del movimiento de la partícula) y la acción es menor cuando hay más energía potencial en el sistema. Báez simplemente afirma
¡La naturaleza es tan perezosa como sea posible!
