Dividiré mi respuesta en tres secciones : aclaraciones, respuesta sin ecuaciones y consideraciones más detalladas. Aquellos que solo quieren saber cómo funciona y no quieren molestarse con demasiado formalismo pueden detenerse al final de la segunda sección.
Aclaraciones :
Primero definamos qué es la observación. La observación es el proceso a través del cual se obtiene información sobre un sistema físico (su posición, su momento, su polarización … lo que sea). Esas cantidades se llaman observables, en la medida en que son accesibles a través de una medición . Al realizar una medición en un sistema, obtenemos acceso a valores de una determinada cantidad física. Así es como funciona “observar”.
¡Esos valores pueden variar , y realizar la medición de cualquier cantidad física en un sistema dado en un estado cuántico dado puede arrojar resultados diferentes! Pero se determina la probabilidad con la que puede obtener cada resultado . Entonces, ¿ qué es determinista no es el resultado de la medición, sino el conjunto de posibles observaciones, así como la probabilidad de cada resultado! (Si prepara una gran cantidad de sistemas para que todos estén en el mismo estado cuántico y realice la misma medición en cada uno de ellos, obtendrá resultados diferentes pero verá la distribución de probabilidad de los resultados).
- ¿El principio de incertidumbre de Heisenberg es responsable de que los electrones no tengan una ubicación específica hasta que se miden?
- ¿La incertidumbre de las condiciones iniciales en la teoría del caos está relacionada con el principio de incertidumbre de Heisenberg en la teoría cuántica?
- ¿Pueden los kets denotar escalares (en física cuántica)?
- ¿Qué es un estado coherente y comprimido y cuáles son sus diferencias?
- ¿Qué mecanismo físico hace que el volumen de la función de onda del fotón crezca a medida que viaja por el espacio?
Responda sin ecuaciones :
En la forma en que construimos la teoría cuántica de la física, hemos construido un objeto muy abstracto llamado función de onda . Es un vector de un espacio de Hilbert, y está asociado a un estado cuántico (aunque no todas las funciones de onda son estados físicos, pero hagámoslo simple aquí). Como representa el sistema, debe «codificar» toda la información que hay que saber sobre él . Por lo tanto, contiene las distribuciones de probabilidad de los resultados de la medición de cualquier cantidad física en el sistema. El conjunto de resultados puede ser continuo (posición o impulso) o discreto (niveles de energía de un electrón en un átomo).
Ahora, la teoría, para ser coherente, debe tener en cuenta la repetibilidad : ¿qué pasa si observo un sistema dos veces? ¿Qué pasa si las mediciones que realicé con el mismo valor físico eran infinitamente cercanas entre sí? Luego, para la primera medición, tendría diferentes resultados posibles. Pero, ¿qué pasa si inmediatamente después de obtener un valor físico, lo volví a medir?
¡Entonces el resultado de la segunda observación debe ser necesariamente el mismo valor que inmediatamente antes! En otras palabras, la distribución de probabilidad de los resultados y el conjunto de resultados han cambiado .
De hecho, inmediatamente después de que se realizó la primera observación , el sistema se encuentra en un estado en el que el único resultado de la medición de la misma cantidad física es el resultado anterior. La probabilidad de encontrar el resultado anterior es 1 y la probabilidad de encontrar cualquier otra cosa es 0 .
Por eso, inevitablemente, el estado cuántico ha cambiado. ¡Esto es lo que llamamos colapso de la función de onda!
( Hay algo sutil acerca de este fenómeno brutal e irreversible: depende del hecho de que el detector se considera clásico . Ser completamente riguroso requeriría un cálculo cuántico completo. Pero el hecho de que el detector a menudo sea muy grande hace que un detector sea semi-grande). enfoque clásico muy legítimo).
En esta última sección trataré de explicar por qué cualquier valor que produce una medición es un valor propio del operador asociado con el valor físico observado, y por qué la función de onda realmente colapsa en un estado propio del observable.
En la mecánica cuántica “normal”, los observables son operadores hermitianos (o autoadjuntos). Esto significa que una cantidad observable está asociada a un operador [math] \ hat {A} [/ math] que puede actuar en un estado [math] | \ psi \ rangle [/ math] para producir otro estado, como un cuadrado matriz actuaría en un vector de columna de la longitud correcta, para producir otro vector de columna.
Ahora, también puede escribir la acción de un operador en un estado dado [math] | \ psi \ rangle = \ psi (\ vec {r}, t) [/ math]. Por ejemplo :
[math] \ hat {X} | \ psi \ rangle = x \ psi (\ vec {r}, t) [/ math] por lo que el operador de posición X es solo una multiplicación por “x”.
Por el momento tienes [math] \ hat {P} | \ psi \ rangle = \ frac {\ hbar} {i} \ nabla \ psi (\ vec {r}, t) [/ math]
Recuerde que la función de onda [matemática] \ psi (\ vec {r}, t) [/ matemática] es una amplitud de probabilidad , por lo que el valor promedio de los resultados que obtiene midiendo una cantidad física [matemática] a [/ matemática] que está asociado al observable [math] \ hat {A} [/ math] en un estado cuántico [math] | \ psi \ rangle [/ math] es:
[matemáticas] \ langle a \ rangle = \ langle \ psi | \ hat {A} | \ psi \ rangle = \ displaystyle \ int \ psi ^ * (\ vec {r}, t) \ hat {A} \ psi (\ vec {r}, t) \ d \ vec {r} [/ math]
De manera similar, la varianza (cuadrado de la desviación estándar) de los valores que obtendría al medir la cantidad física [matemática] a [/ matemática] en un sistema cuyo estado es [matemática] | \ psi \ rangle [/ matemática] es:
[matemáticas] (\ Delta a) ^ 2 = \ langle \ psi | (\ hat {A}) ^ 2 | \ psi \ rangle [/ math]
Ahora que hemos recordado esas notaciones, consideremos un sistema cuántico que inicialmente se encuentra en el estado [math] | \ psi \ rangle [/ math] en el que realizamos la medición de una cantidad física [math] a [/ math] .
Si [math] | \ psi _ {\ alpha} \ rangle [/ math] es un estado propio del observable [math] \ hat {A} [/ math] podemos escribir:
[matemáticas] \ hat {A} | \ psi _ {\ alpha} \ rangle = \ alpha | \ psi _ {\ alpha} \ rangle [/ math] y [matemáticas] \ hat {A} ^ 2 | \ psi _ {\ alpha } \ rangle = \ alpha ^ 2 | \ psi _ {\ alpha} \ rangle [/ math] por lo tanto:
[matemáticas] \ langle a \ rangle = \ alpha [/ math] y [matemáticas] \ langle a ^ 2 \ rangle = \ alpha ^ 2 [/ math]
Entonces [matemáticas] (\ Delta a) ^ 2 = \ langle a ^ 2 \ rangle – (\ langle a \ rangle) ^ 2 = 0 [/ math]
Por lo tanto, si el estado del sistema es un estado propio del observable, entonces el resultado de la medición es ciertamente el valor propio (la varianza es nula, por lo que los resultados de la medición tienen una extensión de cero).
Probemos que lo contrario también es cierto …
Ahora consideremos la norma cuadrada de [matemáticas] (\ hat {A} – \ langle a \ rangle \ hat {I}) | \ psi \ rangle [/ math] donde [math] \ hat {I} [/ math] es el operador de identidad. Luego :
[matemáticas] || (\ hat {A} – \ langle a \ rangle \ hat {I}) | \ psi \ rangle || ^ 2 = \ langle \ psi | (\ hat {A} – \ langle a \ rangle \ hat {I}) ^ 2 | \ psi \ rangle [/ math]
Porque [math] \ hat {A} [/ math] es hermitiano.
Entonces :
[matemáticas] || (\ hat {A} – \ langle a \ rangle \ hat {I}) | \ psi \ rangle || ^ 2 = \ langle \ psi | \ hat (A) ^ 2 | \ psi \ rangle – (\ langle a \ rangle) ^ 2 = (\ Delta a) ^ 2 [/ math]
Observamos que si un resultado es seguro (que es el caso justo después de una primera observación), entonces la varianza es nula, lo que significa que [matemáticas] (\ hat {A} – \ langle a \ rangle \ hat {I}) | \ psi \ rangle = 0 [/ math] así que nos quedamos con:
[matemáticas] \ hat {A} | \ psi \ rangle = \ langle a \ rangle | \ psi \ rangle [/ math]
es decir, el estado es necesariamente un estado propio del observable, y el resultado de la medición es un valor propio del operador.