Las otras respuestas son buenas, pero me gustaría agregar la perspectiva algorítmica porque el problema surge en las simulaciones cuánticas de Monte Carlo de sistemas cuánticos de muchos cuerpos que exhiben el problema del signo, y resulta ser NP-difícil en el caso general .
Comencemos desde el principio. Tenemos un sistema cuántico de muchos cuerpos con partículas [matemáticas] N [/ matemáticas] y estados posibles [matemáticas] m [/ matemáticas], por lo que nuestro espacio de estado es exponencialmente grande: [matemáticas] m ^ N [/ matemáticas] ( para [matemática] m = 2 [/ matemática], digamos espines de electrones, y [matemática] N = 100 [/ matemática] de ellos, este es un espacio de estado dimensional [matemático] 10 ^ {30} [/ matemático] ) Afortunadamente, existe un procedimiento que nos permite ignorar la mayoría de estos siempre que podamos hacer una muestra representativa honesta de ellos. Este es el trabajo del algoritmo de Monte Carlo.
El procedimiento generalmente comienza mapeando la evolución del sistema cuántico en una trayectoria clásica de Monte Carlo (agregamos una dimensión al exponente al hacer esto), lo que significa que saltas de estado a estado con ciertas probabilidades. No es muy útil entrar en detalles sobre cómo se hace, y puede encontrar una gran cantidad de buen material de lectura por ahí [1]. Lo relevante es la función de partición:
- ¿Qué piensan los físicos y los especialistas en viajes espaciales sobre 'física abierta' y 'sistemas de propulsión ESP'?
- ¿Cuándo el objeto se convierte en un objeto? Por ejemplo, ¿cuándo el barco se convierte en un barco?
- ¿Cómo afecta un cambio de velocidad a la longitud de onda de una ola?
- ¿Qué es la simetría traslacional?
- Si algo tan grande como una molécula de buckyball se puede mantener en superposición sin decoherencia, ¿dónde termina el límite, en términos del tamaño de un objeto que muestra propiedades QM? ¿Por qué?
[matemáticas] \ matemáticas {Z} = \ text {Tr} \ exp {(- \ beta H)} [/ matemáticas]
Tomando una expansión de Taylor y eligiendo una base [completa] para el Hamiltoniano, puede obtener una suma sobre [matemática] P (c_i) [/ matemática], probabilidades para la configuración [matemática] i [/ matemática] del sistema. Entonces la expectativa de algunos observables macroscópicos se parece al caso clásico:
[matemáticas] \ langle A \ rangle = \ frac {\ sum_i A (c_i) P (c_i)} {\ mathcal {Z}}. [/ math]
Para los sistemas cuánticos que consisten en bosones, todas las [matemáticas] P (c_i) [/ matemáticas] serán positivas, pero debido a la antisimetría de las funciones de onda fermiónicas que explica Kevin, también podemos tener contribuciones de probabilidad negativas (si ayuda a calmar esa sensación divertida, puedes decir pesos de Boltzmann en lugar de probabilidades). A veces, la magnitud de estas probabilidades es extremadamente pequeña, y las energías (o lo que sea observable) serán altamente oscilatorias en el espacio de configuraciones, y se puede imaginar que el esquema de Monte Carlo tendrá dificultades para probar todos estos estados con alta fidelidad. Es posible que tenga la inteligente idea de elegir una base que haga la diagonal hamiltoniana, que elimine el problema de los signos, pero luego está haciendo descomposiciones propias de un sistema que todavía se escala exponencialmente, es decir, [math] \ mathcal {O} ( m ^ N) [/ math] (como nota al margen, realmente me encanta ver que este tipo de inteligencia sea derribado por la complejidad computacional, solo nos muestra cuán poderosa es una idea). Al menos el problema depende de la base, lo que puede ayudar a encontrar esquemas de aproximación eficientes para algunos casos.
Es posible demostrar que en algunos casos bosónicos (y fermiónicos libres de frustración) un algoritmo de Monte Carlo puede lograr algún error [matemático] \ épsilon [/ matemático] en el tiempo que escala polinomialmente con las propiedades del sistema, es decir, el número de partículas y el temperatura. Para sistemas fermiónicos frustrados, el error escala exponencialmente [2].
Entonces, ¿qué es la frustración? Un ejemplo intuitivo simple es encontrar estados fundamentales del modelo Ising de celosía 3D, donde tenemos un gráfico de vértices [matemáticos] N [/ matemáticos] con valores binarios [matemáticos] \ pm 1 [/ matemáticos], así que [matemáticos] m = 2 [/ matemáticas]. Los bordes entre ellos pueden ser positivos o negativos, lo que implica una correlación positiva o negativa entre cada giro. Ahora imagine tres giros que están tratando de minimizar su energía total. Si los bordes entre dos de los giros son negativos, pero el tercer borde es positivo, es imposible satisfacer esto enérgicamente por completo (esto es esencialmente una desigualdad triangular), por lo que decimos que está frustrado. Tener muchos de estos problemas puede aumentar la dificultad de un problema y, en el caso general, el modelo Ising es NP-completo [3]. Se establece como un problema de decisión, donde ejecuta una simulación de Monte Carlo a cierta temperatura y pregunta si hay alguna configuración que proporcione una energía inferior al umbral elegido. Obviamente, puede calcular la energía de la configuración en tiempo polinómico para verificar esto, por lo tanto, está completa NP . Y dado que el problema de optimización correspondiente (algoritmo de Monte Carlo) tiene una versión de decisión NP-complete , es NP-hard [4].
Creo que esta es un área bastante interesante donde la teoría de la complejidad computacional se encuentra con la física cuántica. La parte más interesante radica en nuestra creencia de que ni siquiera se espera que las computadoras cuánticas puedan resolver problemas NP-completos de manera eficiente, a pesar de que la simulación cuántica es probablemente su capacidad más valiosa. Actualmente hay muchos estudios sobre el tema de qué tipos de hamiltonianos son eficientemente simulables. Por ejemplo, un hamiltoniano “estocástico” tiene todos los elementos no diagonales reales y no negativos de alguna manera, y dado que puede codificar un problema de optimización clásico como 3SAT en un hamiltoniano diagonal (que también es estocástico), sabemos que es al menos NP-hard [5].
Referencias
[1] Recomiendo encarecidamente el libro introductorio de mecánica estadística de David Chandler. Tiene un buen capítulo sobre Montecarlo y es un gran libro en general.
[2] Por ejemplo, el modelo antiferromagnético de Heisenberg (todos los acoplamientos negativos) en gráficos bipartitos puede evitar el problema del signo con un cambio de base adecuado: correlaciones del estado fundamental de los antiferromagnéticos cuánticos: un estudio de Monte Carlo con función verde.
[3] Ver El modelo de Ising es NP-completo por BA Cipra, un artículo bien escrito.
[4] Un excelente artículo describe gran parte de esta publicación con más detalle y demuestra la dureza NP del problema de los signos: [cond-mat / 0408370] Complejidad computacional y limitaciones fundamentales para las simulaciones fermiónicas cuánticas de Monte Carlo
[5] El trabajo de Sergey Bravyi es muy relevante aquí, especialmente este artículo: [1402.2295] Simulación de Montecarlo de hamiltonianos estocásticos.