¿Cuál es la fórmula para la dilatación del tiempo?

Su pregunta no está clara si está hablando de dilatación de tiempo relativista especial o dilatación de tiempo gravitacional. Me ocuparé de ambos.

La fórmula relativista especial universal es

[matemáticas] \ tau = \ frac {t} {\ gamma} = t \ sqrt {1- \ frac {v ^ 2} {c ^ 2}} [/ matemáticas]

donde [math] \ tau [/ math] es el tiempo apropiado, o el tiempo que pasa en el marco de descanso del objeto que está observando, [math] t [/ math] es el tiempo de coordenadas, la cantidad de tiempo que ha medido en su marco de descanso para haber pasado esa cantidad de tiempo adecuado,

[matemáticas] \ gamma = \ frac {1} {\ sqrt {1- \ frac {v ^ 2} {c ^ 2}}} [/ matemáticas]

es el factor de Lorentz, y [matemática] v [/ matemática] es la magnitud de la velocidad relativa entre usted y el objeto que observa.

Tenga en cuenta que dado que [math] \ sqrt {1- \ frac {v ^ 2} {c ^ 2}} [/ math] siempre es menor o igual a uno, siempre medirá la misma cantidad de tiempo o menos han pasado en su marco de descanso, durante un período de tiempo determinado que pasa en el marco de descanso del objeto. Si [math] v = 0 [/ math], los dos son iguales, ya que están en reposo el uno con respecto al otro, y si [math] v> 0 [/ math] lo observarán durante un intervalo dado, digamos 1 hora, eso le pasa al observador, menos de lo que habrá pasado por el objeto que está observando, observa que “envejece” más lentamente de lo que lo hace. Esta es la dilatación especial del tiempo relativista.

La situación relativista general es un poco más complicada porque hasta donde yo sé, no existe una “fórmula universal”. La razón de esto es que las métricas de espacio-tiempo que son soluciones de las ecuaciones de campo de la Relatividad General, las ecuaciones de campo de Einstein, pueden tener una forma más complicada que no puede generalizarse en una plantilla universal.

Sin embargo, para la solución más conocida, la métrica de Schwarzschild, es posible escribir algo similar a una “fórmula universal” restringida. La solución de Schwarzschild describe una situación en la que el espacio-tiempo está curvado por una masa central esféricamente simétrica, no giratoria y sin carga, y la curvatura inducida por las masas de prueba se ignora esencialmente.

En ausencia de cualquier desplazamiento espacial (es decir, la masa de prueba observada está en reposo con respecto a un observador “en el infinito”), es posible relacionar directamente el tiempo apropiado con el tiempo coordinado por medio del factor gamma gravitacional:

[math] \ gamma_g = \ frac {1} {\ sqrt {1- \ frac {2GM} {rc ^ 2}}} [/ math]

Donde [matemática] M [/ matemática] es la masa del cuerpo central, [matemática] G [/ matemática] es la constante gravitacional de Newton, [matemática] r [/ matemática] es, más o menos, la distancia radial del cuerpo central (“hablando en términos generales” porque la distancia radial en el espacio ahora está en un espacio-tiempo curvo), y [matemáticas] c [/ matemáticas] es nuevamente la velocidad de la luz.

Usando esta definición, la fócula de dilatación del tiempo gravitacional en ausencia de desplazamiento espacial se convierte en
[matemáticas] \ tau = \ frac {t} {\ gamma_g} [/ matemáticas]

Donde [math] \ tau [/ math] es nuevamente el tiempo apropiado del objeto que está observando, y [math] t [/ math] es el tiempo coordinado de usted, un observador “en el infinito” (donde [math] \ gamma_g = 1 [/ math] porque [math] r = \ infty [/ math]).

Lo que dice esta ecuación es, nuevamente, en presencia de un campo gravitacional, un observador observará que un objeto envejece más lentamente “en el infinito” (donde se supone que el campo gravitacional es cero) en relación con ese observador.

La relación es formalmente idéntica (es decir, la forma de la ecuación es la misma, aunque el contenido no lo es) como en la situación relativista especial. Sin embargo, en la situación relativista especial, la dilatación del tiempo observada es simétrica, es decir, dos observadores que se mueven entre sí medirán el tiempo de dilatación de sus homólogos (aunque esto parece paradójico, no lo es, porque también miden diferentes intervalos de longitud y, por lo tanto, diferentes eventos deben ser simultáneos entre sí, lo que en efecto cancela lo que al principio parecería una contradicción). Sin embargo, en la situación relativista general, la dilatación del tiempo observada no es simétrica, un observador más cercano a la masa central también encontrará que ha envejecido más lentamente que el observador “en el infinito” (o cualquier observador a una distancia radial mayor lejos de la masa central).

Nuevamente, la solución de Schwarzschild es la más simple que satisface las ecuaciones de campo de Einstein, y para soluciones más complicadas no debe esperar que la relación de dilatación del tiempo gravitacional sea expresable de manera simple.

Espero que esto ayude. Como sugerencia, te sugiero que hagas preguntas futuras con un poco más de precisión.

La dilatación del tiempo nunca puede suceder en los relojes físicos, sino solo en el momento de la Relatividad Especial, que es un tiempo falso.

Probar la relatividad especial está mal:

1. La hora física es la hora mostrada de un reloj físico.
2. El tiempo visualizado de un reloj físico es una invariante de los marcos de referencia inerciales.
3. Si todos los relojes están configurados para tener el mismo tiempo de visualización y la misma frecuencia en un marco de referencia inercial, sin importar si los relojes son estacionarios o no, sus tiempos de visualización serán siempre los mismos observados en todos los marcos de referencia inerciales.
4. Por lo tanto, el tiempo físico es absoluto, universal e independiente de cualquier marco de referencia inercial.
5. El tiempo de la relatividad especial no es absoluto, universal, sino que depende del marco de referencia inercial.
6. Por lo tanto, el tiempo de la Relatividad Especial no es el tiempo físico.
7. Por lo tanto, la relatividad especial está mal.

Relojes en satélites GPS:
Echemos un vistazo al reloj de un satélite GPS. Muchas personas creen que el reloj del satélite es idéntico al reloj de la Tierra antes de una corrección y la corrección es corregir el efecto de la dilatación del tiempo. Pero creo que es todo lo contrario.

Después de la corrección, el reloj en la tierra y el reloj en el satélite tienen el mismo tiempo visualizado observado en un marco de referencia inercial en el momento de observación conectado a la tierra. Estos dos relojes también mostrarán exactamente el mismo tiempo visualizado observado en un marco de referencia inercial conectado al satélite en el momento de observación, debido a la invariabilidad del tiempo visualizado de un reloj en todos los marcos de referencia inerciales. Es decir, los dos relojes están estrictamente en posiciones simétricas después de la corrección. Por lo tanto, se vuelven idénticos después de la corrección. Por lo tanto, no hay dilatación del tiempo entre los dos relojes.

Por lo tanto, la corrección no es corregir la dilatación del tiempo sino corregir los errores causados ​​por otros factores.

No estoy seguro de qué eres por “solo el de la Tierra”. Las fórmulas ya dadas por el Sr. Foott son correctas. Solo recuerde que la velocidad es constante en relación con un observador estacionario (sin aceleración). Si cualquiera de las partes está acelerando, las cosas se vuelven mucho más complejas (y más allá de mi capacidad de describir).

T-prime = t / sqrt (1- v ^ 2 / c ^ 2)

Este es uno de esos casos en los que Wikipedia te sirve bien:
Dilatación del tiempo