Sí, al nivel más fundamental. Las propiedades de espacio y tiempo están directamente asociadas con la equivalencia de energía de masa a través del teorema de Noether, que establece que cada simetría continua está asociada con una ley de conservación.
La relación de equivalencia de energía de masa se puede derivar directamente del momento 4, que es solo la energía y el momento expresados en una representación espacio-tiempo. De hecho, la masa y el impulso son en realidad dos formas diferentes de describir el mismo fenómeno en la física clásica. En su lugar, cualquier fórmula con masa puede escribirse en términos de impulso (si excluimos la energía restante).
La conservación de la energía y el impulso están vinculados a simetrías fundamentales en el tiempo y el espacio, por lo que deberíamos esperar alguna expresión relacionada con estos dos. Eso solo sucede con el intervalo invariante de espacio-tiempo, que es el sello distintivo de la relatividad especial.
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¿Qué es este llamado intervalo de espacio-tiempo invariante? Es posible que haya leído aquí en Quora que en la relatividad especial todo viaja a la velocidad de la luz en el espacio-tiempo. Cuando resuelve eso en componentes separados de espacio y tiempo, obtiene la dinámica clásica estándar.
Esencialmente, la expresión relacionada con el espacio y el tiempo es el espacio-tiempo invariante,
[matemáticas] ds ^ 2 = dx ^ 2 + dy ^ 2 + dz ^ 2-c ^ 2dt ^ 2 [/ matemáticas]
Y la relación correspondiente completa para energía e impulso es,
[matemáticas] E ^ 2 = m ^ 2c ^ 4 + p ^ 2c ^ 2 [/ matemáticas]
En resumen, en el nivel más profundo, la equivalencia de energía de masa es el resultado de la simetría del espacio-tiempo subyacente, que creo que es bastante profunda.
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EDITAR: La conexión entre los dos invariantes se puede revelar simplemente usando el principio de menor acción, que esbozaré a continuación.
El intervalo invariante espacio-tiempo puede usarse para construir la integral de acción. Primero escribimos el invariante en una forma donde hemos notado que los intervalos de distancia coordinada, [math] dx = v_x dt. [/ Math] Por lo tanto, podemos escribir el invariante en una forma compacta,
[matemáticas] ds ^ 2 = (v ^ 2-c ^ 2) dt ^ 2 [/ matemáticas]
Está claro que, como está escrito, el intervalo invariante es negativo, por lo que podemos usar un incremento positivo, expresado en términos del tiempo apropiado, [matemáticas] \ tau [/ matemáticas],
[matemáticas] d \ tau ^ 2 = (c ^ 2-v ^ 2) dt ^ 2 [/ matemáticas]
tomando la raíz cuadrada,
[matemáticas] d \ tau = \ sqrt {c ^ 2-v ^ 2} dt [/ matemáticas]
Ahora podemos integrar el incremento de tiempo adecuado,
[matemáticas] \ tau = \ displaystyle \ int _ {\ tau_i} ^ {\ tau_f} \ sqrt {c ^ 2-v ^ 2} dt [/ math]
Este formulario se parece a la acción, ya que representa la ruta integrada a través del tiempo adecuado. Por lo tanto, representa la solución válida para la dinámica de partículas relativistas. Como tal, la acción debe ser proporcional a esta solución, de modo que [math] S = k \ tau [/ math], dando,
[matemáticas] S = \ displaystyle \ int _ {\ tau_i} ^ {\ tau_f} k \ sqrt {c ^ 2-v ^ 2} dt [/ matemáticas]
De la acción, podemos extraer el relativista lagrangiano,
[matemáticas] L = [/ matemáticas] [matemáticas] k \ sqrt {c ^ 2-v ^ 2} [/ matemáticas]
Ahora para encontrar [matemáticas] k. [/ Matemáticas]
El impulso viene dado por
[matemáticas] p = \ dfrac {\ parcial L} {\ parcial v} [/ matemática]
[matemáticas] = – \ dfrac {kv} {\ sqrt {c ^ 2-v ^ 2}} [/ matemáticas]
En el límite no relativista de baja velocidad, el denominador es simplemente, c y obtenemos,
[matemáticas] p = – \ frac {k} {c} v [/ matemáticas]
de donde podemos determinar la constante, [math] k = -mc [/ math].
Así el lagrangiano es,
[matemáticas] L = -mc [/ matemáticas] [matemáticas] \ sqrt {c ^ 2-v ^ 2} [/ matemáticas]
Entonces el hamiltoniano se define simplemente como,
[matemáticas] H = pv-L [/ matemáticas]
Lo que da directamente la energía relativista como,
[matemáticas] E = pv + mc [/ matemáticas] [matemáticas] \ sqrt {c ^ 2-v ^ 2} [/ matemáticas]
Recordar,
[matemáticas] p = \ dfrac {\ parcial L} {\ parcial v} [/ matemática]
[matemáticas] p = \ dfrac {mcv} {\ sqrt {c ^ 2-v ^ 2}} [/ matemáticas]
Luego,
[matemáticas] E = \ dfrac {mcv ^ 2} {\ sqrt {c ^ 2-v ^ 2}} + mc \ sqrt {c ^ 2-v ^ 2} [/ matemáticas]
[matemáticas] E = \ dfrac {mcv ^ 2 + mc (c ^ 2-v ^ 2)} {\ sqrt {c ^ 2-v ^ 2}} [/ matemáticas]
[matemáticas] E = \ dfrac {mc ^ 3} {\ sqrt {c ^ 2-v ^ 2}} [/ matemáticas]
[matemáticas] E = \ dfrac {mc ^ 2} {\ sqrt {1- \ frac {v ^ 2} {c ^ 2}}} [/ matemáticas]
Cuadrar ambos lados da,
[matemáticas] E ^ 2 = \ dfrac {m ^ 2c ^ 4} {(1- \ frac {v ^ 2} {c ^ 2})} [/ matemáticas]
[matemáticas] E ^ 2- \ frac {E ^ 2v ^ 2} {c ^ 2} = m ^ 2c ^ 4 [/ matemáticas]
Usando expresiones previas para la energía [matemáticas] E [/ matemáticas] y el momento, [matemáticas] p [/ matemáticas], tenemos
[matemáticas] \ frac {E ^ 2v ^ 2} {c ^ 2} = \ dfrac {m ^ 2v ^ 2c ^ 4} {(v ^ 2-c ^ 2)} [/ matemáticas]
y
[matemáticas] p ^ 2 = \ dfrac {m ^ 2v ^ 2} {(1-v ^ 2 / c ^ 2)} [/ matemáticas]
que juntos pueden usarse para simplificar el segundo término,
[matemáticas] \ frac {E ^ 2v ^ 2} {c ^ 2} = \ dfrac {m ^ 2v ^ 2c ^ 2} {(1- \ frac {v ^ 2} {c ^ 2})} [/ matemáticas ]
[matemáticas] = p ^ 2c ^ 2 [/ matemáticas]
El cuadrado de la energía se reduce a,
[matemáticas] E ^ 2-p ^ 2c ^ 2 = m ^ 2c ^ 4 [/ matemáticas]
Que es solo la energía-momento relativista invariante.
Si todo el álgebra hizo que tus ojos se pusieran vidriosos, no importa. Simplemente hemos utilizado el principio de menor acción para mostrar que la invariante espacio-temporal implica directamente la invariante energía-momento.
Por lo tanto, [math] E = mc ^ 2 [/ math] es una consecuencia directa de la simetría de Lorentz del espacio-tiempo.
