La notación de Susskind aquí es un poco engañosa, ya que una [matemática] A [/ matemática] generalmente denota un operador (que estaría representado por una matriz), no un estado (que está representado por un vector). Es bueno que haya consultado el libro antes de responder.
Si interpreta la notación del corchete de forma pedante, el lado izquierdo es un vector de fila; el lado derecho es un vector de columna; y toda la expresión representa el producto interno de los dos.
Entonces, tomemos uno por uno. Primero, tenemos [math] \ langle j | = (0, \ dots, 1, \ dots) [/ math], un vector de fila que está en todas partes cero excepto la [math] j [/ math] -la posición ( es decir, el vector de base [math] j [/ math] -th), que representa un sistema que se encuentra en su eigenstate [math] j [/ math] -th.
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A continuación, tenemos
[matemáticas] | A \ rangle = \ begin {pmatrix} \ alpha_1 \\\ vdots \\\ alpha_i \\\ vdots \ end {pmatrix}, [/ math]
es decir, una matriz de columna con componentes del vector de estado [matemática] A [/ matemática].
De inmediato, podemos ver que [matemática] \ langle j | A \ rangle [/ matemática] es el producto interno de estos dos vectores (fila y columna), y es trivial ver que [matemática] \ langle j | A \ rangle = \ alpha_j [/ math], ya que el solitario [math] 1 [/ math] en la posición [math] j [/ math] -th del vector de fila [math] \ langle j | [/ math] seleccione el elemento [math] j [/ math] -th del vector de columna [math] A [/ math]. Por lo tanto, ni siquiera es necesario hacer el desvío a través del delta de Kronecker, pero bueno, ¿por qué no?
Entonces, la siguiente expresión es
[matemáticas] | i \ rangle = \ begin {pmatrix} 0 \\\ vdots \\ 1 \\\ vdots \ end {pmatrix}, [/ math]
un vector de columna con ceros en todas partes excepto la fila [math] i [/ math] -th (es decir, el vector base [math] i [/ math] -th, que representa un sistema en su [math] i [/ math] – eigenstate). El producto interno, [math] \ langle j | i \ rangle [/ math] es, por lo tanto, siempre cero a menos que [math] i = j [/ math]. Esto es lo que está codificado por el Kronecker delta [math] \ delta_ {ij} [/ math], o más bien, [math] \ delta ^ i_j [/ math] porque me gusta ser pedante cuando se trata de filas y columnas índices:
[matemáticas] \ langle j | i \ rangle = \ delta ^ i_j = \ begin {pmatrix} 1 & 0 & \ dots \\ 0 & 1 & \ dots \\\ vdots & \ vdots & \ ddots \ end {pmatrix}. [/ math]
El significado mecánico cuántico del delta de Kronecker es que representa la amplitud de transición desde el [math] i [/ math] -th al [math] j [/ math] -th eigenstate: porque estos son estados propios, la amplitud es cero a menos que los dos estados propios coincidan, [matemáticas] i = j [/ matemáticas].
Lo que Susskind está haciendo es esto: expresa (en un ligero abuso de notación, pero no me permite ir allí, sin necesidad de pedantería excesiva) el vector [matemáticas] A [/ matemáticas] en términos de sus componentes. Es decir, cada componente [math] \ alpha_i [/ math] se multiplica por el vector base correspondiente [math] | i \ rangle [/ math], y luego se suma el resultado:
[matemáticas] | A \ rangle = \ displaystyle \ sum_i \ alpha_i | i \ rangle. [/ math]
Luego multiplica esta ecuación a la izquierda por el vector fila [math] \ langle j | [/ math], para obtener
[matemáticas] \ langle j | A \ rangle = \ displaystyle \ sum_i \ alpha_i \ langle j | i \ rangle. [/ math]
Sin embargo, ya sabemos que [math] \ langle j | i \ rangle = \ delta ^ i_j [/ math] y que, según la definición del delta de Kronecker, [math] \ alpha_i \ delta ^ i_j [/ math] es [ matemática] 0 [/ matemática] si [matemática] i \ ne j [/ matemática]. Entonces [math] \ sum_i \ alpha_i \ delta ^ i_j = \ alpha_j \ delta ^ j_j = \ alpha_j [/ math].
