Wikipedia describe esto mejor. Función de onda de Laughlin:
En física de la materia condensada, la función de onda de Laughlin [1] [2] es un ansatz, propuesto por Robert Laughlin para el estado fundamental de un gas electrónico bidimensional colocado en un campo magnético de fondo uniforme en presencia de un fondo de jalea uniforme cuando El factor de relleno (efecto Hall cuántico) del nivel más bajo de Landau es [matemática] \ nu = 1 / n [/ matemática] donde [matemática] n [/ matemática] es un entero positivo impar. Fue construido para explicar la observación del efecto Hall cuántico fraccional [matemático] \ nu = 1/3 [/ matemático], y predijo la existencia de estados [matemáticos] \ nu = 1 / n [/ matemáticos] adicionales así como excitaciones de cuasipartículas con carga eléctrica fraccional [matemática] e / n [/ matemática], las cuales fueron luego observadas experimentalmente. Laughlin recibió un tercio del Premio Nobel de Física en 1998 por este descubrimiento. Al ser una función de onda de prueba, no es exacta, pero cualitativamente, reproduce muchas características de la solución exacta y cuantitativamente, tiene superposiciones muy altas con el estado fundamental exacto para sistemas pequeños.
El efecto de sala cuántica fraccional requiere interacciones.
[matemáticas] H = \ sum_i \ frac {(p_i – eA) ^ 2} {2m} + \ sum_ {i <j} \ frac {e ^ 2} {| r_i – r_j |} [/ math]
que incluye interacciones coulomb. Esta es una partícula hamiltoniana [matemática] n [/ matemática]. Queremos mostrar una fracción de llenado de [math] \ nu = \ frac {1} {3} [/ math] .. Si pongo este hamiltoniano y tengo exactamente un electrón por cada tres cuantos de flujo, ¿cuál es el estado fundamental? ?
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Podemos preguntar cuáles son las excitaciones en torno al estado fundamental y si hay energía para esas excitaciones, etc. Por supuesto, no hay forma de que podamos responder esta pregunta, para resolver este problema directamente. Este problema está completamente más allá de cualquier cálculo analítico. Un problema es que no tiene parámetros pequeños y, por lo tanto, es un sistema que interactúa fuertemente sin parámetros pequeños. Básicamente, la forma en que vamos a proceder es que, en lugar de tratar de resolver este problema desde los primeros principios, primero vamos a adivinar un tipo de estado fundamental candidato y argumentar que este estado fundamental es una buena descripción de nuestro sistema . Así que vamos a usar una suposición educada.
La suposición educada de Bob Laughlin
Este tipo de pensamiento es bastante común en la física de muchos cuerpos fuertemente correlacionada. En muchos casos, realmente no podemos resolver, de hecho, ese no es realmente el objetivo, resolver Hamiltonianos particularmente microscópicos. En cambio, lo que tratamos de hacer es averiguar en qué caso de universalidad se encuentra el hamiltoniano. Descubrimos lo que debería verse experimentalmente o numéricamente y verificamos esas predicciones.
Esto se debe a Bob Laughlin y voy a seguir su tipo de razonamiento, cómo adivinó la respuesta, a partir de este hamiltoniano.
- Entonces, lo primero que dijo fue: “Imaginemos que nuestro campo magnético es muy fuerte. Entonces, nuestra frecuencia de ciclotrón es muy grande. Imaginemos que es más grande que la escala de interacción de Coulomb. ”Entonces [matemática] \ left (\ frac {e ^ 2} {\ ell_B \ ll \ omega_c} \ right) [/ math]. Entonces podemos restringir nuestra atención al nivel más bajo de landau. Experimentalmente, [math] \ ell_B \ ll \ omega_c [/ math] puede o no ser una suposición razonable para hacer en casos particulares, pero podemos imaginar teóricamente hacer esta suposición.
- Los niveles más bajos de Landau ( LLL ) son de la forma
[matemáticas] f (z_1, \ cdots, z_N) e ^ {- \ sum_i \ frac {| z_i | ^ 2} {4 \ ell ^ 2}} [/ matemáticas]
donde [math] f [/ math] es un polinomio antisimétrico, ya que estamos hablando de fermiones. Este es el estado más general que puede tener en el LLL para fermiones. - Para tener una fracción de relleno [math] \ nu = \ frac {1} {3} [/ math], la potencia máxima que [math] z_i ^ m [/ math] debe tener es [math] \ frac {m} { N} = 3 [/ matemáticas]. Entonces, lo que quiero decir con eso es que si miro este polinomio y lo amplío y digo: “¿Cuál es la potencia más alta de [math] z_i [/ math] que ocurre, debería ser tres veces la cantidad de electrones. ¿Por qué? Porque eso nos dice que la potencia más alta nos dice el tamaño de nuestra gota, y si es [matemática] 3N [/ matemática], eso significa que la cantidad de electrones es igual a [matemática] \ frac {1} {3} [ / math]: el nivel más bajo de Landau indica que puedo caber en esta gota. Esto aseguraría que sea exactamente a la densidad apropiada de [math] \ frac {1} {3} [/ math] electrones por orbital. El orbital máximo aquí es tres veces el número de electrones “.
- Entonces, quiero un cierto grado para mi polinomio, cada [matemática] z_i [/ matemática] debe elevarse al poder del orden [matemática] 3N [/ matemática]. Esto solo habla de la potencia máxima, por lo que no debe ir demasiado lejos. Solo debes salir a [matemáticas] 3N [/ matemáticas]. A la máxima potencia, la mayoría de los electrones se agruparían.
En este punto, tenemos muchas posibilidades. Puedo tomar cualquier polinomio antisimétrico que tenga un poder de [matemática] m = 3N [/ matemática] y sería una descripción candidata de un estado [matemático] \ nu = \ frac {1} {3} [/ matemático]. Tendría la cantidad correcta de electrones por cuantos de flujo. Todos esos polinomios tendrían la misma energía. Entonces, sin interacciones, todos estos estados son degenerados. Sin embargo, si tenemos interacciones, en particular interacciones coulomb, van a favorecer tipos particulares de polinomios donde los [math] z_i [/ math] – los diferentes estados de electrones – están muy lejos el uno del otro. Eso significa funciones de onda que desaparecen rápidamente cuando [math] z_i \ to z_j [/ math]. A una potencia mínima, los electrones estarían más separados y probablemente no desaparecerían rápidamente.
Entonces un candidato natural va a ser
[matemáticas] f (z_1, \ cdots, z_N) = \ prod_ {i <j} (z_i – z_j) ^ 3 [/ matemáticas]
para [matemáticas] \ nu = \ frac {1} {3} [/ matemáticas]. Sin embargo, esto realmente se generaliza a cualquier [matemática] \ nu = \ frac {1} {m} [/ matemática] donde [matemática] m [/ matemática] es impar. Esto nos da nuestros estados de Laughlin [matemáticas] \ frac {1} {m} [/ matemáticas]
[matemáticas] \ psi_m (z_1, \ cdots, z_N) = \ prod_ {i <j} (z_i – z_j) ^ me ^ {- \ sum_i \ frac {| z_i | ^ 2} {4 \ ell ^ 2}} [/matemáticas]
y el requisito de que [math] m [/ math] es impar es porque tenemos un sistema fermiónico. Es antisimétrico ya que [math] z_i \ leftrightarrow z_j [/ math] arroja un signo menos.
¿Por qué es buena esta función de onda de Laughlin?
Bueno, [math] \ psi_m (z_1, \ cdots, z_N) [/ math] tiene varias buenas propiedades:
- [matemática] m [/ matemática] orden cero cuando [matemática] z_i \ to z_j [/ matemática]
- Describe una gota circular con densidad uniforme [math] \ nu = \ frac {1} {m} [/ math]
- Brecha energética incompresible en el grueso
