¿Qué queremos decir básicamente con cálculo tensorial y cuáles son algunos de sus usos en matemáticas y física superiores?

gracias por a2a. Esto es lo que es un tensor : si a es un vector de columna como es b, entonces el producto externo ab ‘ es el producto de Kronecker de a y b escrito como [math] \ bf {a} \ otimes \ bf {b}. [/ matemáticas]

La razón por la que esto surge tanto tiene que ver con el hecho de que si tengo una lista de resultados ay una lista de resultados b, entonces la lista de resultados por pares es ab ‘. El verdadero poder de las operaciones de tensor es cuando tenemos muchas listas. Supongamos que tengo una lista de 10 opciones posibles en la primera pregunta en un examen de opción múltiple, 7 en la segunda pregunta y tres en la tercera pregunta. Denote las primeras respuestas potenciales como un vector de dimensión 10, el segundo como un vector de dimensión 7 y el tercero como un vector de dimensión 3, a, b, c respectivamente. Luego, la lista de posibles resultados si un estudiante (malo) solo adivina las respuestas en [matemáticas] \ bf {a} \ otimes \ bf {b} \ otimes \ bf {c}. [/ Matemáticas]

Esto realmente no se puede expresar con operadores de matriz de vectores ordinarios. Ver también:

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Cuando yo (como aficionado interesado pero relativamente no entrenado) comencé a tratar de entender la relatividad y otras materias que usan tensores, inmediatamente me topé con la definición de un tensor n-dimensional de orden k como una colección de [matemáticas] n ^ k [/ math] números que podrían multiplicarse por vectores covariantes y contravariantes por varias reglas, y que se transformaron por un conjunto de fórmulas terribles que implican toneladas de derivados parciales, etc. Trabajar con ellos fue un desastre, y nunca realmente entendí, nunca obtuve una respuesta clara.

Cuando leí Gravitación , de Misner, Thorne y Wheeler, intentaron trabajar lo más posible en un estilo sin coordenadas. Las coordenadas, después de todo, son solo una forma de hacer cálculos y no son una característica “real” de la física. Definieron un tensor como una función que tomó cero o más vectores y cero o más vectores duales y devolvió un número real. Un tensor también tiene que ser lineal en todos sus argumentos.

Bajo esa formulación, la aplicación parcial de un tensor produce otro tensor de orden inferior (p. Ej., [Matemáticas] U (\ vec {v}) = T (\ vec {u}, \ vec {v}) | _ {\ vec { u} = \ vec {a}} [/ math]), que es el equivalente de “contracción” usando la notación “Einstein” [math] U ^ j = T ^ {ij} v_i [/ ​​math]. Como todo es lineal, los tensores de orden 0 son similares a los escalares, los tensores de orden 1 son similares a los productos internos, los tensores de orden 2 son similares a las transformaciones lineales, etc. El papel de los vectores y sus dobles tiene el papel de covariante. y vectores contravariantes.

Para mí, esto funcionó. Como informático, puedo manejar funciones, aplicaciones parciales que devuelven otras funciones, etc. Puedo lidiar con no tener que preocuparme por las coordenadas. Puedo lidiar con el requisito de que un campo tensor continuo es un campo donde cada punto en el espacio tiene un tensor asociado, y los puntos cercanos tienen tensores “cercanos”. Prefiero no tratar con, no pensar en bobas y bobas de coordenadas.

Desafortunadamente, casi cualquier otro tratamiento de los tensores está fuertemente incrustado en el uso de coordenadas, y la notación de suma de Einstein es rampante.

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