Principio de incertidumbre: ¿Cómo se realiza el último paso en esta evaluación de la transformación de Fourier entre el momento y la posición?

[matemáticas] \ displaystyle \ frac {-i} {2 \ pi} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ frac {d \ psi (\ chi) } {d \ chi} e ^ {- ip \ chi / \ hbar} d \ chi e ^ {ipx / \ hbar} dp [/ math]

[matemáticas] = \ displaystyle \ frac {-i} {2 \ pi} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ frac {d \ psi (\ chi)} {d \ chi} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} e ^ {- ip \ chi / \ hbar} e ^ {ipx / \ hbar} dp [/ math]

[matemáticas] = \ displaystyle \ frac {-i} {2 \ pi} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ frac {d \ psi (\ chi)} {d \ chi} [2 \ pi \ hbar \ delta (\ chi-x)] d \ chi [/ math]

[matemáticas] = \ displaystyle \ frac {-i} {2 \ pi} (2 \ pi \ hbar) \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ frac {d \ psi (\ chi)} {d \ chi} \ delta (\ chi-x) d \ chi [/ math]

[math] = \ displaystyle -i \ hbar \ frac {d \ psi (x)} {dx}. [/ math]

La función delta de Dirac [matemática] \ delta (\ chi-x) [/ matemática] contribuye a la integral sobre [matemática] \ chi [/ matemática] solo cuando [matemática] \ chi = x [/ matemática], es decir, [ math] \ delta (\ chi-x) = 0 [/ math] cuando [math] \ chi \ neq x [/ math] y así [math] \ chi [/ math] se reemplaza por [math] x [/ math ] en el paso final.

Bueno entonces

[math] F (\ xi) = \ int f (x) e ^ {- 2 \ pi ix \ xi} dx [/ math] es la transformada de Fourier de [math] f (x) [/ math]

entonces podemos ver que la integral interna (la evaluada con respecto a [matemáticas] \ chi [/ matemáticas]) es (más o menos) la transformada de Fourier de [matemáticas] \ frac {d \ psi (\ chi) } {d \ chi} [/ math] (que es solo una función de [math] \ chi [/ math]) en el espacio p (desde [math] \ chi [/ math] -space). Llamaremos a esto [matemáticas] F (p) [/ matemáticas] por simplicidad.

Eso te da

[matemáticas] \ int F (p) e ^ {ipx / \ hbar} dp [/ matemáticas] que es la transformada inversa de Fourier (del espacio p al espacio x), que nos lleva de [matemáticas] F (p) [/ math] a [math] f (x) [/ math].

Así que hagamos un balance. Tomamos [math] \ frac {d \ psi (\ chi)} {d \ chi} [/ math] y realizamos primero una transformada de Fourier, luego una transformada inversa de Fourier (aunque no en las mismas coordenadas). Lo que hemos hecho ha pasado de [matemáticas] \ chi [/ matemáticas] -> [matemáticas] x [/ matemáticas].

Por lo tanto, tenemos [matemáticas] \ frac {d \ psi (x)} {dx} [/ matemáticas] y, volviendo a la definición original de la transformada de Fourier, no es sorprendente ver que hemos encontrado un factor de [matemáticas ] 2 \ pi \ hbar [/ math] ya que la transformación real tiene [math] e ^ {- 2 \ pi ix \ xi} [/ math], no [math] e ^ {ix \ xi / \ hbar} [/ matemáticas]. Estos factores surgen en la integración.

Para apreciar completamente la derivación, debe comprender la función delta de Dirac.

More Interesting

Según el experimento de pensamiento del gato de Schrodinger, al igual que el gato está siendo observado y tiene dos realidades, ¿estamos siendo observados también y somos solo una realidad alternativa?

¿Cuál es la diferencia entre una banda de valencia y una banda de conducción?

Si el viaje FTL fuera posible, ¿cómo sería práctico ya que estaría "volando a ciegas"?

¿La mecánica cuántica predice la dilatación del tiempo localizado?

Dada una medida de simetría de [math] \ psi (x) [/ math], ¿cuál es el límite inferior más grande en la probabilidad de encontrar una partícula en x> 0?

¿Una solución al modelo Hubbard conducirá a una mejor comprensión teórica de los superconductores de alta temperatura?

¿Cuáles son las fallas de la mecánica newtoniana?

¿Son [math] S_x, S_y, [/ math] y [math] S_z [/ math] todas las variables conjuntas canónicas entre sí?

¿Hay alguna especie que use los efectos descritos por la mecánica cuántica?

¿La energía de las olas es realmente económicamente viable?

¿La comprensión de la física cuántica tiene alguna aplicación en la vida personal directa de un hombre común?

Tuve una lesión cerebral que me dificulta hacer matemáticas. ¿Podría estudiar física (especialmente cuántica) profesionalmente?

¿Es la mecánica clásica la suma de la mecánica cuántica?

¿Puedes explicar en términos simples cómo la "observación determina la realidad" en la mecánica cuántica?

¿Podría algo sin masa y energía viajar al pasado? ¿Podría esa 'cosa' cambiar el pasado? ¿Podría cambiar la línea de tiempo del universo?