Respuesta físicamente intuitiva pero matemáticamente tonta: No. Ninguno de los Operadores de Spin [math] S_i [/ math] son los ‘derivados’ entre sí. [0]
Esto depende del sistema de interés. Uno se usa para definir la conjugación como la existencia de una variable de velocidad / momento [math] p_i [/ math] asociada a cada variable de posición [math] q_i [/ math]. Matemáticamente, esto significa que nuestro espacio-tiempo está dotado de lo que se conoce como una forma simpléctica . Hablando en términos generales, uno puede pensar que las velocidades residen en el haz tangente de un múltiple y las posiciones residen en el haz cotangente. La forma simpléctica proporciona un isomorfismo entre estos de modo que el enunciado [math] p_i = \ dot {q} _i [/ math] está matemáticamente bien definido. Tenga en cuenta que, en realidad, el paquete cotangente de un colector [math] n [/ math] es un paquete vectorial de dimensión [math] 2n [/ math], por lo que realmente contiene ‘ambas’ las posiciones y las velocidades. Sin embargo, a los físicos les encanta describir las velocidades en términos de campos vectoriales, por lo que tiene más sentido intuitivo considerar las velocidades como vectores tangentes.
Ahora las matrices de Pauli [math] \ sigma_i [/ math] generan un grupo de Lie conocido como [math] \ mathsf {SU} (2) [/ math] – el conjunto de unidades [math] 2 \ times 2 [/ math] matrices Un hecho común que se puede encontrar en cualquier buen libro sobre múltiples [1] es,
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[math] \ mathsf {SU} (2) \ cong S ^ 3 [/ math]
Esto implica que el conjunto de operadores de giro [matemática] S_i = \ frac {\ hbar} {2} \ sigma_i [/ matemática] reside en un múltiple de 3 (es decir, la esfera 3). Dado que una variedad simpléctica es necesariamente incluso dimensional [2], está claro que la conjugación requeriría considerar más que solo los operadores de espín. Ahora observe que [math] TS ^ 3 \ cong T ^ * S ^ 3 \ cong \ mathbb {R} ^ 6 [/ math] (ya que todos los grupos de Lie son paralelizables), por lo que podríamos definir conjugados de los operadores de spin en [ matemáticas] T ^ * S ^ 3 [/ matemáticas]; sin embargo, esto nunca daría una relación de conjugación entre [math] S_i [/ math].
Ahora es posible construir sistemas con operadores de giro interactivos (por ejemplo, algún tipo de modelo Potts [math] 2k [/ math] -spin). En muchos de estos sistemas, la elección de Hamiltoniano es “efectivamente” equivalente a especificar una forma simpléctica. Si hay interacción entre los diferentes operadores de espín, es teóricamente posible definir una forma simpléctica. Sin embargo, este es un sistema bastante artificial.
[0] Supongo que tengo que tener cuidado aquí ya que [math] \ mathsf {Lie (SU} (2)) [/ math] puede describirse en términos de las matrices de Pauli
[1] Recomiendo Introducción a los colectores lisos de John M. Lee
[2] Tenemos una velocidad para cada posición (un emparejamiento) así que esto nos da un espacio de fase dimensional uniforme
