Creo que lo que el interlocutor intenta preguntar es una caminata aleatoria bidimensional de pasos [matemáticos] N [/ matemáticos]. Comience en el origen. Cada paso: Seleccione aleatoriamente un ángulo entre [matemática] 0 [/ matemática] y [matemática] 2 \ pi [/ matemática] (distribución uniforme) y realice un paso unitario (longitud 1) en esa dirección. La pregunta típica que se hace es cuál es la distancia esperada desde el origen después de los pasos [math] N [/ math], con la respuesta de alrededor de [math] \ sqrt {N} [/ math] como mostraré. La pregunta aquí plantea algo diferente, a lo que llegaremos.
Ahora que lo tenemos claro, llamemos al punto en el que terminamos después de [matemática] N [/ matemática] pasos [matemática] z. [/ Matemática] Voy a llamar a los ángulos [matemática] \ theta_k [/ matemática ] El signo menos en el exponente parece superfluo, pero lo dejaré.
[matemáticas] z = \ sum_ {k = 1} ^ {N} e ^ {- i \ theta_k} [/ matemáticas]
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Estamos interesados en [matemáticas] E (| z | ^ 2). [/ Matemáticas]
[matemáticas] | z | ^ 2 = z \ bar {z} = \ sum_j e ^ {- i \ theta_j} \ sum_k e ^ {i \ theta_k} [/ math]
[matemáticas] | z | ^ 2 = \ sum_j \ sum_k e ^ {i (\ theta_k – \ theta_j)} [/ matemáticas]
Esta suma doble se puede dividir en los términos donde [matemáticas] j = k [/ matemáticas] y los términos donde [matemáticas] j \ ne k [/ matemáticas]. Cuando [matemática] j = k [/ matemática] entonces [matemática] \ theta_k – \ theta_j = 0 [/ matemática] entonces [matemática] e ^ {i (\ theta_k – \ theta_j)} = 1. [/ Matemática]
Hay [matemática] N [/ matemática] de estos términos donde [matemática] j = k [/ matemática] así que escribamos [matemática] | z | ^ 2 [/ matemática] como
[matemáticas] | z | ^ 2 = N + \ sum_j \ sum_ {k \ ne j} e ^ {i (\ theta_k – \ theta_j)} [/ matemáticas]
Tomando los valores esperados:
[matemáticas] E ({| z | ^ 2}) = N + E (\ sum_j \ sum_ {k \ ne j} e ^ {i (\ theta_k – \ theta_j)}) [/ matemáticas]
Para [math] j \ ne k [/ math], la diferencia [math] \ theta_k – \ theta_j [/ math] es solo un ángulo aleatorio. La parte real de [matemática] e ^ {i (\ theta_k – \ theta_j)} [/ matemática] es igualmente probable que sea tan negativa como positiva. Es lo mismo para la parte imaginaria. El valor esperado que obtiene al sumar estos es cero, porque (o suponiendo) el valor esperado de la parte real y la parte imaginaria de cada uno es cero. Entonces
[matemáticas] E ({| z | ^ 2}) = N [/ matemáticas]
Esto dice que la distancia al cuadrado esperada que estará lejos del origen después de los pasos [matemática] N [/ matemática] es [matemática] N [/ matemática]. Tomar la raíz cuadrada te da la distancia cuadrática media, que no creo que sea exactamente la distancia esperada, pero debería estar cerca. Tal vez pueda decir que se espera que esté cerca de [math] \ sqrt {N} [/ math] unidades del origen después de los pasos [math] N [/ math].
La pregunta formulada sobre [math] \ frac {| z | ^ 2} {N}. [/ Math] El valor esperado de esa cantidad es solo [math] N / N = 1. [/ Math]
