Permítanme comenzar con una pregunta más simple. Dado un punto en un plano, ¿cuáles son las coordenadas [matemáticas] x [/ matemáticas] y [matemáticas] y [/ matemáticas] del punto? Supongo que todos reconocen la necesidad de elegir un sistema de coordenadas rectangular en particular para responder esa pregunta. Pero, ¿qué pasa si dos personas eligen diferentes sistemas de coordenadas? Consulte la imagen a continuación. Supongamos que elige el sistema de coordenadas con ejes etiquetados con [math] x [/ math] y [math] y [/ math] y un amigo elige el que está etiquetado con [math] x ^ {\ prime} [/ math] y [matemáticas] y ^ {\ prime} [/ matemáticas]. Por simplicidad, he dibujado los orígenes de los dos sistemas de coordenadas como coincidentes. Mirando la imagen, puede ver que los dos encuentran valores diferentes para la “[matemática] x [/ matemática] -coordinada”. Del mismo modo, encontrará diferentes valores para “[math] y [/ math] -coordinate” para el punto. Sin embargo, sabiendo que su elección del sistema de coordenadas gira a través de un ángulo [matemático] \ theta [/ matemático] en relación con la elección de su amigo, puede calcular las coordenadas de su amigo a partir de las relaciones que figuran en la imagen. Además, cada uno de ustedes puede calcular la distancia desde su origen común hasta el punto, utilizando la misma fórmula, y obtener el mismo valor, [math] d [/ math]. El número, [math] d [/ math], se llama invariante. Es la distancia entre dos puntos en el plano, el origen común y el punto dado. Es un invariante bajo una elección de coordenadas rectangulares en el plano.
Si examina el dibujo, verá que el cuadrado de la distancia, [matemática] d [/ matemática], puede obtenerse del Teorema de Pitágoras, utilizando cualquier conjunto de coordenadas. Esto solo es cierto para los sistemas de coordenadas rectangulares. Y, un espacio bidimensional que permite la construcción de un sistema de coordenadas con esta propiedad se llama plano euclidiano o espacio euclidiano bidimensional. Hay otros invariantes geométricos en el plano euclidiano, como las áreas de figuras comunes, triángulos y otras “figuras planas”. El punto aquí es que con diferentes formas de describir el plano euclidiano con coordenadas rectangulares, las propiedades geométricas son invariantes.
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Ahora discutiré, por analogía con el plano euclidiano, el concepto de espacio-tiempo. El “punto” en la imagen anterior requería dos números para describirlo en cualquier sistema de coordenadas rectangulares. Por eso decimos que el plano euclidiano es bidimensional. Los “puntos” en el espacio-tiempo se llaman eventos y requieren cuatro números para describirlos, tres para la posición en el espacio y uno para el momento de ocurrencia. Para simplificar la discusión, suprimiré dos de las “dimensiones” y, por ahora, consideremos el caso del espacio-tiempo, que es el concepto más cercano al plano euclidiano; El espacio-tiempo de la relatividad especial. Observe que tuve cuidado de decir “más cercano en concepto”. El espacio-tiempo bidimensional de la relatividad especial no es el plano euclidiano, porque, como veremos, la cantidad invariante asociada con dos eventos no se calcula a partir de las coordenadas mediante el uso de Pitágoras. Teorema.
Las dos coordenadas rectangulares de la discusión anterior se reemplazan con dos marcos de referencia inerciales en una configuración simple. Un marco de referencia inercial se define como uno en el que se mantiene la primera ley de movimiento de Newton, es decir, una partícula sin fuerza neta que actúa sobre ella mantiene una velocidad constante. La configuración simple a la que me refiero significa que los ejes [matemático] x [/ matemático] de los dos cuadros de inercia coinciden y los orígenes coinciden en los momentos [matemático] t [/ matemático] y [matemático] t ^ {\ prime} [/ matemática] ambos iguales a [matemática] 0 [/ matemática]. Las “coordenadas” de un evento en el espacio-tiempo son entonces [matemáticas] (x, ct) [/ matemáticas].
Las fórmulas para transformar las coordenadas del espacio-tiempo entre marcos inerciales se llaman transformación de Lorentz. Doy una derivación de la transformación de Lorentz usando los postulados de la relatividad especial en mi respuesta La respuesta de Dale Gray a ¿Hay alguna relación entre la relatividad y la mecánica cuántica? Esa pregunta originalmente había preguntado qué es la relatividad, así que discutí la transformación de Lorentz como parte de mi respuesta.
A continuación, daré un método para obtener las ecuaciones de transformación de Lorentz a partir de un diagrama de Loedel. Un diagrama de Loedel es un método para representar algunos de los resultados cinemáticos de la relatividad especial con un dibujo en un plano euclidiano. Aunque el espacio-tiempo no es euclidiano, la transformación de las coordenadas del espacio-tiempo se puede obtener mediante el uso de “coordenadas oblicuas” en lugar de coordenadas rectangulares en la representación. El punto importante de la imagen es que una invariante geométrica, [matemática] s ^ 2 [/ matemática], puede calcularse utilizando las coordenadas espacio-temporales de dos eventos. Esta cantidad, [math] s [/ math], llamada intervalo espacio-tiempo entre los eventos, es análoga a la distancia entre puntos en la geometría euclidiana. Sin embargo, observe el signo menos entre los cuadrados de las coordenadas. Esto hace que la geometría del espacio-tiempo no sea euclidiana.
En cada una de las representaciones de los marcos de referencia inerciales, las coordenadas de espacio y tiempo del evento, [matemática] A [/ matemática], se obtienen proyectando en paralelo al otro eje, es decir, [matemática] x_A [/ matemática] es obtenido dibujando una línea desde [math] A [/ math] paralela al eje [math] ct [/ math] para intersecar el eje [math] x [/ math]. La cantidad, [matemática] v [/ matemática], es la velocidad de las coordenadas “preparadas” en relación con las coordenadas “no imprimadas”, con [matemática] v [/ matemática] positiva a la derecha. La velocidad de la luz en el vacío se denota por [math] c [/ math]. Las otras cantidades se definen en la imagen. Observe que el intervalo espacio-tiempo, [math] s [/ math], entre el origen común de espacio-tiempo de los sistemas inerciales y el evento [math] A [/ math] no es la distancia euclidiana entre el origen y [math] A [/ math ]
La transformación de Lorentz en la esquina inferior izquierda de la imagen es una “transformación lineal”, lo que significa que las ecuaciones que describen el movimiento de partículas sin fuerza neta sobre ellas son ecuaciones lineales, es decir, representan líneas rectas en el espacio-tiempo, cuando se hace referencia a cualquiera sistema inercial Esto es lo que queremos decir cuando decimos que el espacio-tiempo de la relatividad especial es plano.
Así como podemos dar descripciones matemáticas de superficies curvas de dos dimensiones, una esfera, la superficie de una silla de montar, la superficie de un jarrón, etc., podemos dar una descripción matemática de un espacio-tiempo curvo. De hecho, las superficies curvas y el espacio-tiempo curvo se pueden describir “intrínsecamente”, sin referencia a un espacio dimensional más grande o un espacio-tiempo más grande. Como requerimos que una superficie curva sea localmente plana, de modo que un área pequeña se aproxime a una porción de un plano euclidiano, también requerimos un espacio-tiempo curvo para aproximar el espacio-tiempo plano de relatividad especial localmente. Tal es el espacio-tiempo de la relatividad general. Al permitir la curvatura del espacio-tiempo, llegamos a la teoría de la gravitación de Einstein, la relatividad general. Las ecuaciones que muestran cómo la materia determina la curvatura del espacio-tiempo para producir gravitación se llaman ecuaciones de campo de Einstein. Para ver cómo la relatividad general es una teoría de la gravitación, que en condiciones restringidas, se aproxima a la teoría de la gravitación de Newton, véase Dale Gray.
