La curvatura del espacio está definida por el tensor de curvatura de Riemann [math] \ mathcal {R} _ {\ mu \ nu \ rho \ sigma} [/ math]. Cada índice puede tomar un valor entre 0 y 3; p.ej
- [matemáticas] \ matemáticas {R} _ {0123} [/ matemáticas]
- [matemáticas] \ matemáticas {R} _ {1212} [/ matemáticas]
- [matemáticas] \ matemáticas {R} _ {3100} [/ matemáticas]
como ejemplos Eso es [matemática] 4 ^ 4 = 256 [/ matemática] números potencialmente diferentes, pero hay algunas simetrías entre ellos:
- Cambiar el primero y el segundo, o el tercero y el cuarto, solo introduce un signo menos. Por ejemplo, [math] \ mathcal {R} _ {0123} [/ math] es lo mismo que [math] – \ mathcal {R} _ {1023} [/ math] así como [math] – \ mathcal { R} _ {0132} [/ matemáticas].
- Tomar los dos primeros índices y cambiarlos por los dos últimos índices no hace nada: [math] \ mathcal {R} _ {0123} = \ mathcal {R} _ {2301} [/ math]
- Si gira a través de los últimos 3 índices y suma, obtendrá cero:
[matemática] \ matemática {R} _ {0123} + \ matemática {R} _ {0231} + \ matemática {R} _ {0312} = 0 [/ matemática]
Si cuenta un número y su negativo como portador de la misma información, estas identidades son suficientes para reducir el número de valores independientes distintos de cero en el tensor de curvatura de Riemann a 6, y especificar estos números junto con las 3 simetrías anteriores son suficientes para describir completamente el curvatura local del espacio-tiempo.
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