No Hay algunos resultados aproximados, pero el problema no se “resuelve” en el sentido del problema de Kepler. Lo que comprende una solución también es diferente que en el problema de Kepler, por lo que lo que considera una solución puede no ser significativo.
Por ‘resuelto’, supongo que te refieres a ser capaz de escribir una expresión analítica para las trayectorias de los dos cuerpos. En el problema de Kepler, ignorando los efectos de las mareas y asumiendo la simetría esférica de cada cuerpo, puede ignorar la estructura interna de un cuerpo y modelarlo simplemente como una partícula puntual en el centro de masa. La solución consiste en la trayectoria [math] \ vec {r} _i (t) [/ math] para los dos cuerpos [math] i = 1,2 [/ math]. Especificar las posiciones de algunas masas le da el potencial [math] \ phi [/ math] en todas partes. El problema se resuelve si las trayectorias y el potencial que definen son autoconsistentes en el sentido de que las fuerzas debidas al potencial concuerdan con las aceleraciones de las trayectorias.
En la relatividad general, la cantidad [math] \ vec {r} _i (t) [/ math] no tiene sentido. El espacio-tiempo no es una estructura rígida sobre la cual se mueven los cuerpos; más bien, es una variedad dinámica y las coordenadas son arbitrarias. Para cuerpos como planetas, estrellas, enanas blancas y estrellas de neutrones, especificar la línea del mundo en el múltiple del centro de masa es algo significativo. Sin embargo, tomar el límite de partículas puntuales de un cuerpo mientras se mantiene la masa fija da una solución de agujero negro. Ahora no hay un punto múltiple que sea el centro de masa; en cambio, hay un tubo mundial de horizonte de eventos. Y en contraste con conocer el potencial [matemático] \ phi [/ matemático] a lo largo del espacio-tiempo, querrá conocer el tensor métrico [matemático] g_ {ab} [/ matemático] en algún sistema de coordenadas para describir todo el múltiple.
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Dicho esto, hay algunas técnicas de aproximación que son similares en espíritu al problema newtoniano de 2 cuerpos. Estos dos esquemas de aproximación son 1) la expansión post-newtoniana y 2) el enfoque de fuerza propia. Ambos enfoques se basan en la teoría de la perturbación, por lo que hay algunos pequeños parámetros que se utilizan para organizar el cálculo; Las soluciones aproximadas se encuentran orden por orden en este parámetro.
La expansión post-newtoniana (pN) comienza con un espacio-tiempo vacío y plano (espacio de Minkowski). La métrica completa se separa esquemáticamente como [matemática] g = \ eta + h [/ matemática] donde [matemática] \ eta [/ matemática] es la métrica de Minkwoski. Con este espacio-tiempo de fondo, la trayectoria de una partícula puntual vuelve a ser una cantidad significativa. El parámetro de expansión es aproximadamente [math] v / c [/ math], por lo que el esquema pN solo es válido para movimientos lentos / cuerpos ampliamente separados. La solución newtoniana es el resultado de la expansión de orden principal de las ecuaciones de campo de Einstein (EFE); esta solución luego actúa como un término fuente para encontrar la solución de segundo orden, y así sucesivamente, iterando el EFE a órdenes superiores.
Al ser una expansión asintótica, el esquema pN probablemente eventualmente diverge en un orden suficientemente alto. No sé si esto se sabe o no. Para una revisión del esquema pN, consulte http: //relativity.livingreviews…. .
El enfoque de la fuerza propia funciona con un principio diferente. Si uno de los cuerpos es mucho menos masivo que el otro, entonces la masa pequeña (o mejor la relación de masa adimensional [matemática] m / M [/ matemática]) puede usarse como parámetro de expansión. En el límite [math] m \ a 0 [/ math], la solución espacio-temporal es la de un cuerpo masivo estacionario y aislado. Con esta solución como un espacio-tiempo de fondo, la línea mundial del cuerpo pequeño vuelve a ser una cantidad significativa; la solución [math] \ mathcal {O} (m ^ 0) [/ math] para la trayectoria es una geodésica del espacio-tiempo de fondo. El tensor métrico puede expandirse esquemáticamente como [math] g = g ^ {BG} + h [/ math] y la perturbación métrica [math] h [/ math] puede calcularse a partir de la trayectoria del cuerpo pequeño. Esta perturbación luego actúa de nuevo en el cuerpo pequeño, creando una “fuerza propia”. Otra forma de pensar sobre esto es que el cuerpo pequeño debe seguir una geodésica del espacio-tiempo completo, no el espacio-tiempo de fondo; pero esta geodésica depende del movimiento pasado del propio cuerpo pequeño.
Se requiere un tratamiento mucho más cuidadoso para el enfoque de fuerza propia. Una de las dificultades es separar el singular de la parte regular de la perturbación métrica [matemática] h [/ matemática] en la ubicación del cuerpo pequeño, solo la parte regular contribuye a la fuerza propia. Para una revisión del enfoque de la fuerza propia, consulte http: //relativity.livingreviews…. .
El esquema pN es válido a amplias separaciones / velocidades lentas, pero todas las relaciones de masa. El enfoque de fuerza propia es válido en todas las velocidades y separaciones arbitrarias, pero solo para relaciones de masa extremas. Ninguno de ellos puede describir el ‘santo grial’ de GR, que es una inspiración genérica, fusión y respuesta de dos agujeros negros. Para esto, se requiere una relatividad numérica completa.
