Esto se copia de mi respuesta anterior:
Aprendí los conceptos básicos de la relatividad general por mi cuenta durante las vacaciones de verano de este año. Las matemáticas y la geometría son partes integrales de la teoría misma, y en el caso de la relatividad general, comprender la progresión de las matemáticas a través del estudio de la geometría diferencial forma un camino para realizar plenamente la teoría. De esta manera, comprender la geometría diferencial es un componente formativo en el aprendizaje de la relatividad general.
Para empezar, las matemáticas fueron un poco desafiantes, porque es un tono diferente a cualquier clase de matemática que se enseña a nivel de pregrado, pero dado un poco de tiempo, es una especie de extensión del cálculo vectorial multivariable básico a espacios más generalizados y formas
- En física, ¿por qué decimos curvas de gravedad espacio-tiempo? Una curva en el camino no es importante para un automóvil en reposo. ¿No es más exacto decir que la gravedad es el flujo del espacio-tiempo hacia la masa gravitacional, arrastrando cosas con ella, como un campo de Higgs que fluye?
- ¿La gravedad depende de la escala?
- ¿Qué pasaría si, según las teorías de la relatividad aceptadas por Einstein, el tiempo y el espacio son algo intercambiables y equivalentes?
- ¿Por qué se utilizan derivados para el cambio de coordenadas en la Relatividad general y por qué se ven como vectores?
- ¿La luz de una frecuencia más alta se dobla más debido a la curvatura del espacio-tiempo, en comparación con las ondas EM de menor energía?
Antes de comenzar la relatividad general, supongo que está familiarizado con los conceptos utilizados en la teoría especial:
- Transformaciones entre cuadros
- Métrica
- Formalismo de cuatro vectores
Ahora enumeraré un marco simple basado en temas que seguí mientras aprendía la teoría.
GR0: Geometría diferencial I: los fundamentos
- Puesta a tierra básica en formalismo vectorial / codificador y uso de notación de Einstein.
- Introducción a los tratamientos de punto único de vectores y covectores.
- Introducción a la imagen física y algebraica del tensor métrico.
- Introducción a la notación tensorial y las reglas de transformación de varias formas.
- Invarianza del intervalo en la operación del producto punto.
- Conceptos básicos del análisis tensorial. Operaciones tensoras. Índice de gimnasia. Combinación lineal. Degradado. Divergencia. Contracción
- Análisis tensorial en sistemas de coordenadas generalizadas. Coordinar transformaciones a través de matrices.
GR1: Geometría diferencial II: Geodésica y Curvatura
- Introducción a la derivada covariante. Tratamiento matemático de la derivada covariante. Apreciación física de la derivada covariante.
- Introducción a los símbolos de Christoffel. Definición y propiedades de los símbolos de Christoffel. Cálculo de los símbolos de Christoffel a través de su relación con el tensor métrico.
- Derivada de un vector a lo largo de una curva, utilizando derivada covariante y formalismo de tangente de punto único. Comprensión de la conservación covariante de un vector a lo largo de una curva.
- Diferenciar covariablemente un vector tangente a lo largo de su propia curva. Conservación covariante de la tangente y el nacimiento de la ecuación geodésica. Comprensión de la geodésica como curvas que conservan covariablemente sus propios vectores tangentes.
- Comprender el concepto de transporte paralelo. Usar la ecuación geodésica para cuantificar la variación en los componentes del vector mientras se transporta en paralelo un vector en coordenadas generalizadas.
- Introducción al concepto de curvatura. Transporte de vectores paralelos a lo largo de curvas cerradas y detección de curvatura, y viendo cómo el axioma de paralelismo de Euclides falla en este tipo de espacio.
- Cuantificación de la curvatura utilizando el Tensor de Riemann mediante el transporte paralelo de un vector a lo largo de una curva cerrada y midiendo la desviación del componente.
- Entender el tensor de Riemann como un conmutador de dos operaciones derivadas covariantes a lo largo de dos direcciones arbitrarias.
- Estudiar las simetrías del tensor de Riemann. Estudiando las identidades de Bianchi. Formulación del tensor de Ricci y el escalar de curvatura de Ricci.
GR: La física y las ecuaciones de la relatividad general
- Análisis de fluidos en marcos relativistas. Volumen de una forma. Tensor Levi-Civita.
- La definición física y algebraica del tensor de energía de estrés.
- Conceptos de flujo de energía y flujo de impulso. Densidad de energía como flujo temporal
- Conservación de energía-momento
- Comprender la ecuación geodésica como la ecuación de movimiento en cualquier sistema de coordenadas generalizado. El primer término actúa como un término de aceleración, y el término con los Símbolos de Christoffel muestra cómo se cuantifica la variación de la métrica, mostrando así cómo se produce el movimiento por los cambios en el tensor de la métrica.
- Apreciando el tensor de momento de energía como una colección de 4 vectores de flujo de densidad para cada componente de cualquier momento 4. Comprender así la conservación del momento de energía formulando una especie de ecuación de continuidad para cada componente de 4 momentos.
- Estudio de la dinámica de partículas usando las ecuaciones geodésicas en el límite newtoniano. Proporcionando así una analogía intuitiva a la ecuación de gravedad de Poisson en este caso, y comenzando a comprender una correlación matemática entre los componentes del tensor métrico y la densidad de masa-energía.
- Extender el tratamiento intuitivo para formular las ecuaciones de Einstein para relacionar el tensor de Einstein y el tensor de energía de estrés. Se llega a la forma del tensor de Einstein asegurando la conservación covariante de ambos lados de las ecuaciones de Einstein.
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Mi estilo de aprendizaje iba tema por tema y examinaba la mayor cantidad de fuentes posible hasta que logré una comprensión perfecta del concepto en una confluencia de la estructura matemática y la visualización física. La relatividad general es hermosa como teoría de la geometría, por lo que creo que los conceptos de comprensión física se vuelven esenciales. Lo anterior enumera los conceptos y áreas, en orden, que combiné para formar una comprensión coherente de la teoría. Usé varios libros en diferentes momentos para ayudar a mi comprensión. Voy a enumerar los libros que más utilicé:
- Misner, Thorne, Wheeler (para el formalismo vector-covector)
- Robert Wald
- Steven Weinberg
- Landau Volumen 2 (solo partes introductorias)
- Schutz (brillante para fluidos y cálculo en coordenadas generalizadas, desde derivadas hasta curvatura) Lo usó más.
Tenga en cuenta que usé todos estos libros en partes. Aparte de esto, creo que las conferencias del profesor Leonard Susskind son un suplemento imprescindible . Seguí diligentemente las conferencias para la mayoría de los conceptos. A menudo no podía comprender un concepto del estilo de un libro, así que reflexioné sobre él e intenté encontrar más fuentes hasta que lo conquisté.
Es muy importante no acelerar un concepto, ya que puede conducir a una avalancha de conceptos erróneos y conclusiones erróneas sobre la teoría. Totalmente entendido, la Relatividad General es el resultado más encantador en toda la ciencia. ¡Feliz aprendizaje!
