Pregunta: ¿Cuál es la interpretación geométrica del concepto de conexión en geometría diferencial?
Deje que [math] M [/ math] sea una variedad suave. Con cada conexión [math] \ nabla [/ math] en [math] TM [/ math] viene una noción de traducción paralela. Trataré de elaborar un poco.
En general, decimos que un campo vectorial [math] V \ in \ Gamma (TM) [/ math] es paralelo (de acuerdo con [math] \ nabla [/ math]) if [math] \ nabla_XV = 0 [/ math ] para todas [matemáticas] X \ in \ Gamma (TM) [/ matemáticas]. En particular, puede decir si una curva es una geodésica de acuerdo con una conexión particular.
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Dado un vector tangente [matemático] v \ en T_pM [/ matemático] y una curva [matemática] \ alfa: [0,1] \ a M [/ matemático] comenzando en [matemático] p [/ matemático] con velocidad [matemática ] v [/ math], hay un campo paralelo único [math] V [/ math] a lo largo de [math] \ alpha [/ math] tal que [math] V (0) \ equiv V_p = v [/ math]. Esto sigue por la teoría estándar de ODE. Luego decimos que [math] V (t) \ equiv V _ {\ alpha (t)} [/ math] es el obtenido de [math] v [/ math] a través de la traducción paralela a lo largo de [math] \ alpha [/ math] , de [matemáticas] p [/ matemáticas] a [matemáticas] \ alpha (t) [/ matemáticas].
Entonces, una conexión conecta efectivamente diferentes espacios tangentes a través de la traducción paralela. Lo que significa que una vez fijada una curva [matemática] \ alpha [/ matemática] uniendo dos puntos [matemática] p, q \ en M [/ matemática], tenemos un mapa bien definido [matemática] P _ {\ alpha, p, q }: T_pM \ a T_qM [/ math] dado por nuestra construcción anterior.
Puede comenzar a preguntarse si esto realmente depende de [math] \ alpha [/ math], si depende de que [math] \ alpha [/ math] sea geodésico (busque la definición de holonomía ) o de la variedad topología, o si [math] \ nabla [/ math] es simétrica, o libre de torsión, y así sucesivamente. Por ejemplo, si [math] \ nabla [/ math] es la conexión Levi-Civita de una métrica pseudo-Riemanniana, ¿es la traducción paralela una isometría lineal? (Spoiler: sí). Entonces puedes estudiar esto en varias situaciones.
Dicho todo esto, puede intentar visualizar cómo funciona la traducción paralela pensando en un ejemplo simple como la esfera: tomar un vector tangente en el polo sur y paralelamente traducirlo al polo norte a lo largo de dos grandes círculos diferentes.
Tendrás que perdonar por no insertar una imagen, ya que soy nuevo en Quora y no sé cómo funciona esto (además de eso, escribir en la aplicación móvil no ayuda), pero espero que esta pequeña explicación da una idea
Encontré dos imágenes en Google que ayudarán a visualizar lo que quería transmitir:
Esta imagen muestra cómo la traducción paralela puede depender en general de la curva. Tome el vector tangente a la esfera en el punto [matemático] A [/ matemático] que apunta hacia arriba y en paralelo, transfiéralo al polo norte a través del meridiano que une [matemático] A [/ matemático] a [matemático] N [/ matemático] . Apuntará “hacia adentro” su monitor. Si lo paralelas a través del ecuador, y a través del meridiano que une [matemática] B [/ matemática] a [matemática] N [/ matemática], verá que apuntará hacia la izquierda. Puede repetir este pequeño ejercicio mental en la tangente vectorial en el punto [matemáticas] A [/ matemáticas] que apunta hacia la derecha. La traducción paralela a través del ecuador y luego el meridiano que une [matemática] B [/ matemática] a [matemática] N [/ matemática] se indica en la figura. Pero la traducción paralela a través del meridiano que une [matemática] A [/ matemática] a [matemática] N [/ matemática] produce un resultado diferente.
Ahora, mira esto:
Esto ilustra cómo puede ver la traducción paralela como un mapa lineal entre dos planos tangentes distintos. Esta es la imagen que debes tener en cuenta cuando piensas en cómo traduces en paralelo todo el plano de un punto a otro. En este caso particular, es fácil convencerse de que se trata de una isometría lineal.
¡Espero eso ayude!
