El principio de exclusión de Pauli es realmente una consecuencia de unificar la relatividad especial y la teoría cuántica. La relatividad especial admite una estructura causal natural que surge como consecuencia de un límite de velocidad cósmico. QFT hereda esta estructura causal y el principio de exclusión de Pauli se cumple precisamente porque los campos cuánticos no violan la causalidad.
Digamos que tiene un estado cuántico de 2 partículas idénticas (excitaciones locales de un solo campo cuántico) en la posición [matemática] x [/ matemática] y [matemática] y [/ matemática] dada por [matemática] \ psi (x, y) [/matemáticas].
Se dice que el estado es simétrico si [matemática] \ psi (x, y) = \ psi (y, x) [/ matemática] (es decir, la función de onda no cambia si intercambia las 2 partículas)
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El estado es antisimétrico si [matemática] \ psi (x, y) = – \ psi (y, x) [/ matemática] (es decir, la función de onda cambia de signo si intercambia las 2 partículas)
Pero [math] \ psi (x, y) [/ math] y [math] – \ psi (x, y) [/ math] ambos describen la misma realidad física porque un estado físico se describe únicamente por una función de onda solo hasta Un factor de escala.
Ahora, si el estado es antisimétrico, supongamos que [math] x = y [/ math] (lo que implica que las 2 partículas idénticas están exactamente en la misma posición). Esto significa [matemática] \ psi (x, x) = – \ psi (x, x) [/ matemática] o [matemática] \ psi (x, x) = 0 [/ matemática] (que dice que ambas partículas no están en ninguna parte , no existen). Por lo tanto, dos partículas idénticas no pueden estar en la misma posición porque eso da como resultado una función de onda de fuga. Este es el principio de exclusión de Pauli para estados antisimétricos (los campos se conocen como campos fermiónicos).
Ahora la pregunta es ¿por qué en la Tierra una función de onda debería ser simétrica o antisimétrica? Aquí es donde entra en juego la relatividad especial.
La relatividad especial requiere que los observables estén vinculados a regiones del espacio-tiempo para que no se comuniquen a través de separaciones de espacio (de lo contrario, interactuarían más rápido que la luz y podrían violar la causalidad) De esto se deduce directamente que los observables deben ser funcionales de los campos cuánticos.
Ahora es un hecho de la vida que los campos separados como espacios espaciados conmutan ([matemática] \ phi (x) \ phi (y) = \ phi (y) \ phi (x) [/ math]) o anticommutan ([math] \ phi (x) \ phi (y) = – \ phi (y) \ phi (x) [/ math]) entre sí: estas son las dos únicas formas de asegurarse de que no interactúen más rápido que la luz ( No es muy difícil probar esto, consulte el libro de Weinberg).
Ahora, si los campos se conmutan, resulta que solo contribuye la parte simétrica de [math] \ psi (x, y) [/ math]. Y si los campos anticommutan, solo contribuye la parte antisimétrica de [math] \ psi (x, y) [/ math]. Es por eso que la función de onda es simétrica o antisimétrica, sin otra alternativa. Y esta es la razón por la cual el Principio de Exclusión de Pauli es válido para todos los Campos Fermiónicos.
Si quieres saber cómo está conectado esto con el giro de medio entero y todas esas otras cosas, consulta el libro de Weinberg. De nuevo tiene que ver con la relatividad especial. El giro esencialmente se refiere a cómo cambia un estado cuántico a medida que gira el espacio-tiempo.
