¿Es legítimo escribir [matemática] \ hat {p} = – i \ partial / \ partial x [/ math] en mecánica cuántica?

Primero, matemáticamente es perfectamente legítimo. Simplemente está diciendo que el operador de impulso está relacionado con el operador derivado. La igualdad de operador significa que los dos operadores aplicados a la misma cantidad siempre producirán el mismo resultado.

En cuanto a la segunda parte de su pregunta, es cierto que no está vinculado a ninguna representación en particular. Cuando lo use, debe asegurarse de que el operador de impulso esté en la misma representación que el estado al que lo está aplicando.

Cuando Dirac inventó la notación de corchetes, habló de estados como vectores abstractos y operadores que mapearían un vector en otro, sin representaciones. En esa vista, una representación es solo una forma de adjuntar coordenadas a esos vectores, y no cambia los vectores en sí. Si desea hablar de estados como vectores de columna con cada entrada que contiene un número complejo, sus operadores se convierten en matrices cuadradas y está trabajando en una representación particular. Luego puede usar la teoría de la transformación para cambiar a cualquier otra representación que elija.

Como Meng Cheng ha indicado, [math] \ hat {p} = -i \ frac {\ partial} {\ partial x} [/ math] solo se puede escribir cuando un estado [math] | \ phi \ rangle [/ math] se expresa en la representación coordinada.
En la representación de impulso, escribimos [matemáticas] | \ psi \ rangle = \ int \ langle p | \ psi \ rangle | p \ rangle \, dp [/ math], en ese esquema [math] \ hat {x} [/ math] es equivalente a [math] i \ frac {\ partial} {\ partial p} [ / math] (sobre índices de coincidencia apropiados para múltiples coordenadas generalizadas).

Las dos representaciones son transformadas de Fourier entre sí.

Cuando escribe [math] \ hat {p} = – i \ partial / \ partial x [/ math], está trabajando implícitamente en la representación de coordenadas. De lo contrario, [math] \ hat {x} [/ math] debería tratarse como un operador, y no tiene sentido tomar derivada con respecto a [math] x [/ math]. Sin referirnos a ninguna base, todo lo que sabemos es que [matemática] x [/ matemática] y [matemática] p [/ matemática] se conjugan entre sí, es decir, [matemática] [\ hat {x}, \ hat {p} ] = i \ hbar [/ math]. La representación coordinada de [math] \ hat {p} [/ math] se deduce de esta relación de conmutación.

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