La mecánica cuántica se deriva de unos pocos postulados, ciertamente abstractos. Primero me gustaría presentar los postulados y luego la intuición detrás de ellos.
Los postulados
- Hay una función de onda (valor complejo) [matemática] \ psi (\ vec {x}, t) [/ matemática] que por sí sola caracteriza completamente el estado de un sistema físico. [math] {\ vec x} [/ math] es el vector [math] (x_1, x_2 …, x_N) [/ math] que describe la ubicación de cada partícula. Además, la función de onda debe integrarse a la unidad,
[matemáticas] \ int \ psi ({\ vec x}, t) \ psi ^ {*} ({\ vec x}, t) d \ vec {x} = 1 [/ matemáticas]
- La refracción de la luz es un ejemplo de qué propiedad de los fotones.
- ¿Tiene sentido preguntar qué es realmente un campo cuántico?
- En teoría, ¿podría alterar el ADN biofluorescente para emitir longitudes de onda distintas a la luz visible?
- ¿Se descompondría toda la física cuántica si no se cuantificara una carga?
- ¿Qué es la desintegración beta?
Explicación: [math] \ psi ({\ vec x}, t) \ psi ^ {*} ({\ vec x}, t) [/ math] describe la probabilidad de encontrar cada partícula en una ubicación determinada. La función de onda en sí misma tiene un valor complejo porque las funciones complejas son convenientes para manejar la física de las ondas. Cuando agregamos funciones de onda, los componentes pueden combinarse de manera constructiva o deconstructiva. Cuando tomamos su magnitud, obtenemos una amplitud interpretada como una densidad de probabilidad. Creo que Max Born fue la primera persona en sugerir esta interpretación.
- Los observables son operadores hermitianos ([matemática] \ hat {A} [/ matemática] es hermitiana si [matemática] (\ hat {A} ^ {*}) ^ T = \ hat {A} [/ matemática]) y la única Las observaciones posibles son los valores propios del operador del observable.
Explicación: Esto parece muy matemático, pero los operadores hermitianos son importantes porque tienen valores propios reales. Además, los valores propios son importantes porque son valores característicos de un sistema, sin cambios, sin importar cómo los mida (o matemáticamente en qué base se encuentre). Por ejemplo, [math] \ hat {H} [/ math] es el operador que mide la energía de un sistema (llamado hamiltoniano), y no importa si está en “espacio de posición” o “espacio de momento”, la energía El espectro debe ser el mismo. Esto nos lleva al postulado de que …
- La función de onda evoluciona de acuerdo con la ecuación [matemáticas] \ hat {H} \ psi = i \ hbar \ frac {\ partial} {\ partial t} \ psi [/ math]
Explicación: Esto dice que el Hamiltoniano solo determina cómo evoluciona el sistema en el tiempo. Es análogo a cómo se representa el operador de impulso como [math] \ hat {p} = -i \ hbar \ frac {\ partial} {\ partial x} [/ math]. Esto puede parecer totalmente extraño al principio y puede tomar tiempo para entenderlo. Al estudiar el análisis de Fourier y la mecánica de las ondas, descubres que el movimiento natural de una onda se describe mediante
[matemáticas] \ psi = A e ^ {i (kx – \ omega t)} [/ matemáticas]
donde [math] \ omega [/ math] es la frecuencia de la onda yk el vector de onda (es decir, cómo oscila la onda en el espacio). Fue el brillante trabajo de De Broglie quien dijo que deberíamos interpretar esto como energía e impulso.
- Finalmente, el promedio de cualquier [matemática] \ hat {A} [/ matemática] observable es [matemática] E [A] = \ int \ psi ^ {*} \ hat {A} \ psi d \ vec {x} [ /matemáticas]
Explicación: El la combinación [math] \ hat {A} \ psi [/ math] puede interpretarse como la proyección de la función de onda [math] \ psi [/ math] en los valores propios y estados propios de [math] \ hat {A} [/ math], y [math] \ psi ^ {*} [/ math] es necesario para asignar probabilidades a cada uno de estos estados. Esto es técnico, pero realmente se reduce a la ecuación
[matemática] E [A] = \ sum a_i p_i [/ matemática], donde [matemática] a_i [/ matemática] es una posible observación y [matemática] p_i [/ matemática] es la probabilidad de ver ese valor.
La intuición
Lo anterior es ciertamente abstracto y altamente matemático, y tomó a los físicos más brillantes décadas para resolverlo.
Quizás el paso clave para estos postulados fue la hipótesis de De Broglie de que las partículas pueden describirse como ondas. La mecánica de las ondas se había desarrollado a fondo, y los conceptos de vector de onda y frecuencia se entendían bien. Se sabía que podía extraer propiedades de las ondas a través de operadores, por ejemplo, el vector de onda.
[matemática] k = -i \ frac {\ parcial} {\ parcial x} [/ matemática]
y todo esto era mecánica de onda clásica. A medida que se hacía más evidente que las partículas en sí mismas podían describirse como ondas (ver experimento de doble rendija), solo tomó la interpretación de que el vector de onda era como el momento y la frecuencia como la energía para comenzar a formalizar la mecánica cuántica.
Fue el trabajo pionero de Schrodinger quien formuló la mecánica cuántica a través de ecuaciones diferenciales que Heisenberg, quien tuvo un enfoque algebraico lineal u “operador” más abstracto. El álgebra lineal también se entendía bien en ese momento y había sido útil para descomponer los sistemas en términos de componentes fundamentales, valores propios y vectores propios. (Un lugar en el que el álgebra lineal desempeñó un papel importante fue en el momento angular clásico, donde se podía encontrar el eje de rotación natural y la frecuencia de rotación de los objetos sobre cada eje).
Resulta que las ondas y el álgebra lineal funcionan muy bien entre sí. Esto se debe a que las ondas se pueden descomponer en componentes fundamentales (a la serie de Fourier) y el álgebra lineal era un lenguaje natural para descomponer los sistemas en sus partes componentes. Con la sorprendente observación de Max Born de que la función de onda de una partícula se puede interpretar como una densidad de probabilidad, se podrían crear los postulados de la mecánica cuántica anterior.
Nota: Avíseme si tiene alguna pregunta o comentario. La formulación de la mecánica cuántica puede ser abstracta, pero creo que cualquier persona lo suficientemente curiosa puede aprenderla.
