¿Dos polinomios de diferente grado (con una diferencia real) siempre se cruzan? Por ejemplo (100!) X ^ 2 y 0.1x ^ (2.1). ¿Cuál es la prueba?

No si te limitas a la línea real. Considere [matemáticas] P (x) = x ^ 2, Q (x) = x ^ 4 + 1 [/ matemáticas].

Si permite que [math] x [/ math] sea cualquier número complejo, entonces la respuesta es sí, y de hecho P (x) y Q (x) tienen n intersecciones, donde n es el grado del polinomio [math] P (x) -Q (x) [/ matemáticas]. (si tienen el mismo grado, entonces es posible que difieran solo por una constante y nunca se crucen; esto se confirma en el caso donde el grado de P (x) -Q (x) es 0, es decir, posiblemente sin intersecciones) Esto se desprende del teorema fundamental del álgebra que establece que cualquier polinomio tiene un número de ceros igual a su grado en el plano complejo (así como del hecho de que los polinomios están cerrados bajo suma y resta).

Debo señalar que parece que el OP está operando bajo una definición diferente de “polinomio” del uso general (generalmente la suma de las potencias enteras de x). Si la pregunta es más bien la ecuación

[matemáticas] \ sum_ {i = 0} ^ {N} x ^ {p_i} = [/ matemáticas] [matemáticas] \ sum_ {j = 0} ^ {M} x ^ {q_j} [/ matemáticas]

siempre tenga soluciones, donde [math] p_i, q_j [/ math] son ​​arbitrarias, entonces eso es un poco más interesante. Definitivamente es cierto si [math] p_i, q_j [/ math] son ​​todas racionales (del mismo argumento), y sospecho que mediante un argumento limitante podemos extender esto a irracional [math] p_i, q_j [/ math] también, aunque una prueba sería bienvenida.

No. Los polinomios reales [matemática] f (x) = 0 [/ matemática] y [matemática] g (x) = x ^ 2 + 1 [/ matemática] nunca se cruzarán. La prueba es: [math] 0 = x ^ 2 +1 [/ math] no tiene soluciones en [math] \ mathbb {R} [/ math].

Si está interesado en polinomios en [math] \ mathbb {C} [/ math], se cruzarán dos polinomios de diferentes grados. Esto se desprende del teorema fundamental del álgebra. Sin embargo, todavía podemos encontrar polinomios que nunca se cruzarán. Por ejemplo, los polinomios [matemática] f [/ matemática] dados anteriormente y [matemática] h (x) = 2 [/ matemática] nunca no se cruzarán.