Si no está familiarizado con lo que es un grupo de Galois, le recomiendo mi respuesta a ¿Qué es una explicación intuitiva de un grupo de Galois ?, donde di una serie de ejemplos motivadores. Por ahora, resumiré lo que está escrito allí de la siguiente manera: queremos estudiar extensiones algebraicas de campos y cómo podemos barajar las raíces de los polinomios.
Seamos específicos: que [math] F [/ math] sea un campo y que [math] E [/ math] sea un campo que contenga [math] F [/ math]. Decimos que una función [math] \ varphi: E \ rightarrow E [/ math] es un [math] F [/ math] -automorphism si
- [math] \ varphi [/ math] es un automorfismo de anillo (es decir, [math] \ varphi (xy) = \ varphi (x) \ varphi (y) [/ math] y [math] \ varphi (x + y) = \ varphi (x) + \ varphi (y) [/ math]), y
- [matemática] \ varphi (x) = x [/ matemática] para cualquier [matemática] x \ en F [/ matemática].
Como la composición de [math] F [/ math] -automorphisms es en sí misma [math] F [/ math] -automorphism, el conjunto de todas esas transformaciones forma un grupo, que denotamos por [math] \ text {Aut} (E / F) [/ matemáticas]. Todos los elementos de este grupo tienen una buena propiedad, dado un polinomio [matemática] P (X) [/ matemática] con coeficientes en [matemática] F [/ matemática] y una raíz [matemática] x [/ matemática] de [matemática] P [/ math], para cualquier [math] \ varphi \ in \ text {Aut} (E / F) [/ math], [math] \ varphi (x) [/ math] también es una raíz de [math] P [/ matemáticas]. Aquí hay una prueba:
[matemáticas] \ begin {align *} \ varphi \ left (P (x) \ right) & = \ varphi \ left (a_n x ^ n + a_ {n – 1} x ^ {n – 1} + \ ldots + a_0 \ right) \\ & = \ varphi \ left (a_n x ^ n \ right) + \ varphi \ left (a_ {n – 1} x ^ {n – 1} \ right) + \ ldots + \ varphi (a_0 ) \\ & = a_n \ varphi (x) ^ n + a_ {n – 1} \ varphi (x) ^ {n – 1} + \ ldots + a_0 \\ & = P \ left (\ varphi (x) \ derecha) = 0. \ end {align *} \ tag * {} [/ math]
Uno podría preguntarse si el segundo punto en la definición de un [math] F [/ math] -automorphism puede revertirse en algún sentido. Precisamente, preguntamos si es cierto que si [math] \ varphi (x) = x [/ math] para todos [math] \ varphi \ in \ text {Aut} (E / F) [/ math], ¿lo hace? sigue que [matemáticas] x \ en F [/ matemáticas]?
En general, la respuesta es no. Déjame darte dos ejemplos. Primero, dejemos que [math] F = \ mathbb {Q} [/ math] y [math] E = \ mathbb {Q} (\ xi) [/ math], donde [math] \ xi [/ math] es el verdadero raíz del polinomio [matemática] P (X) = X ^ 3 + 2 [/ matemática]. Entonces, el único [matemático] F [/ matemático] -automorfismo de [matemático] E [/ matemático] es la identidad; esto se debe a que cualquier [matemático] \ varphi [/ matemático] estará completamente determinado por el lugar donde se envía [matemáticas] \ xi [/ matemáticas]. Sin embargo, [math] \ xi [/ math] debe ir a alguna raíz de [math] P (X) [/ math], pero no puede ir a otra cosa [math] \ xi [/ math], ya que otras dos raíces son complejas y, por lo tanto, no se encuentran dentro de [matemáticas] E [/ matemáticas]. En consecuencia, cada elemento de [math] E [/ math] está fijado por cada elemento de [math] \ text {Aut} (E / F) [/ math].
El segundo ejemplo es un poco más esotérico. Sea [math] p [/ math] un número primo y [math] \ mathbb {F} _p [/ math] el campo de elementos [math] p [/ math] (que podría ser más familiar escrito como [math] ] \ mathbb {Z} / p \ mathbb {Z} [/ math]). Según el pequeño teorema de Fermat, para cualquier [matemática] x \ in \ mathbb {F} _p [/ matemática], [matemática] x ^ p = x [/ matemática] (esto se conoce como el mapa de Frobenius). Ahora, deje que [math] F = \ mathbb {F} _p (X) [/ math] (el campo de funciones racionales con coeficientes en [math] \ mathbb {F} _p [/ math]) y considere el polinomio
[matemáticas] \ displaystyle P (Y) = Y ^ p – X. \ etiqueta * {} [/ matemáticas]
Sea [math] E [/ math] el campo más pequeño que contiene [math] F [/ math] y todas las raíces de [math] P (Y) [/ math]. Bueno, en realidad, “todas las raíces” es un extraño giro de la frase aquí, ¡porque en realidad solo hay una raíz! Para ver esto, deje que [math] y [/ math] sea cualquier elemento de [math] E [/ math] tal que [math] P (y) = 0 [/ math]. Luego, usando las características del mapa de Frobenius, tenemos
[matemáticas] \ displaystyle (y – X) ^ p = y ^ p – X ^ p = X – X = 0, \ tag * {} [/ matemáticas]
lo que muestra que, en realidad, [matemáticas] y [/ matemáticas] es la única raíz de [matemáticas] P (Y) [/ matemáticas], que simplemente tiene multiplicidad [matemáticas] p [/ matemáticas]. Pero esto significa que nos encontramos con el mismo problema que en el ejemplo anterior: el único elemento de [math] \ text {Aut} (E / F) [/ math] es la identidad, ya que cualquier [math] F [/ math] -automorfismo estará determinado por el lugar donde envía [math] y [/ math], y solo hay una opción posible.
Por lo tanto, hemos visto que hay al menos dos posibles obstrucciones para que [math] \ text {Aut} (E / F) [/ math] tenga la propiedad que queremos:
- puede ser que haya algo de polinomio [matemática] P [/ matemática] con coeficientes en [matemática] F [/ matemática] tal que [matemática] E [/ matemática] contenga solo algunas de las raíces de [matemática] P [/ matemáticas], pero no todas, y
- puede ser que haya algo de polinomio [matemática] P [/ matemática] con coeficientes en [matemática] F [/ matemática] tal que [matemática] P [/ matemática] sea irreductible (no puede factorizarse en piezas más pequeñas) sobre [matemática] ] F [/ math] y, sin embargo, sus raíces en [math] E [/ math] no son distintas.
Resulta que estas son las únicas obstrucciones. Es decir, si [matemáticas] E [/ matemáticas] es
- normal: por cada polinomio irreducible sobre [matemática] F [/ matemática], o no tiene raíces en [matemática] E [/ matemática] o se factoriza completamente en factores lineales, y
- separable, es decir, por cada polinomio irreducible sobre [matemática] F [/ matemática], si tiene raíces en [matemática] E [/ matemática], esas raíces son distintas, entonces
decimos que [math] E [/ math] es una extensión de Galois , llamamos [math] \ text {Aut} (E / F) = \ text {Gal} (E / F) [/ math] el grupo de Galois de esta extensión, y para cada [matemática] x \ en E [/ matemática], [matemática] x \ en F [/ matemática] si y solo si [matemática] \ varphi (x) = x [/ matemática] para cada [ math] \ varphi \ in \ text {Gal} (E / F) [/ math].
De hecho, podemos decir algo más fuerte. Sea [math] E [/ math] una extensión de Galois de [math] F [/ math], y para cada subgrupo [math] G [/ math] de [math] \ text {Gal} (E / F) [ / math], denotado por [math] E ^ G [/ math] el subcampo de [math] E [/ math] que consta de elementos [math] x [/ math] tal que [math] \ varphi (x) = x [/ math] para todos [math] \ varphi \ en G [/ math]. Luego, el Teorema fundamental de la teoría de Galois dice que existe una correspondencia biyectiva entre los subgrupos de [math] \ text {Gal} (E / F) [/ math] y los subcampos de [math] E [/ math], dada por
[math] \ displaystyle G \ mapsto E ^ G \ tag * {}. [/ math]
Además, esta correspondencia biyectiva invierte el orden, en el sentido de que si [matemática] G \ subconjunto H [/ matemática], entonces [matemática] E ^ G \ supset E ^ H [/ matemática]. Finalmente, el campo [matemática] E ^ G [/ matemática] es una extensión de Galois de [matemática] F [/ matemática] si y solo si [matemática] G [/ matemática] es un subgrupo normal de [matemática] \ text { Gal} (E / F) [/ math], en cuyo caso
[matemáticas] \ displaystyle \ text {Gal} (E ^ G / F) = \ text {Gal} (E / F) / G \ tag * {}. [/ math]
¿Cómo se relaciona esto con el problema de la quintica? Directamente, resulta. Deje que [matemáticas] P (X) [/ matemáticas] sea un polinomio. Si hay alguna forma de escribir las raíces de [matemáticas] P [/ matemáticas] en términos de radicales, entonces esas raíces deben estar contenidas dentro de algún campo [matemáticas] E [/ matemáticas] construido de la siguiente manera.
[matemáticas] \ begin {align *} F_1 & = \ mathbb {Q} \ left (\ zeta_T \ right) \\ F_2 & = F_1 \ left (\ sqrt [t_1] {\ alpha_1} \ right) \\ F_3 & = F_2 \ left (\ sqrt [t_2] {\ alpha_2} \ right) \\ & \ vdots \\ F_n & = F_ {n – 1} \ left (\ sqrt [t_ {n – 1}] {\ alpha_ { n – 1}} \ right) = E, \ end {align *} \ tag * {} [/ math]
donde [math] \ alpha_i \ en F_i [/ math], [math] t_i \ in \ mathbb {Z} [/ math], [math] T [/ math] es el mínimo común múltiplo de [math] t_1, t_2 , \ ldots t_ {n – 1} [/ math], y [math] \ zeta_T [/ math] es la raíz primitiva correspondiente [math] T [/ math] -th de la unidad.
El campo [matemática] E [/ matemática] es normal: uno verifica que en cada paso, agreguemos un elemento junto con todos sus conjugados de Galois (esto se asegura al unir [matemática] \ zeta_T [/ matemática] al principio) . Se puede separar automáticamente en virtud de ser un campo sobre [math] \ mathbb {Q} [/ math] (que tiene la característica cero) y, por lo tanto, [math] E [/ math] es una extensión de Galois, por lo que podemos hablar sobre su grupo de Galois [math] \ text {Gal} (E / \ mathbb {Q}) [/ math]. De manera similar, podemos considerar [matemáticas] K [/ matemáticas], el campo más pequeño que contiene todas las raíces de [matemáticas] P [/ matemáticas] (llamado el campo de división de [matemáticas] P [/ matemáticas]), que por la construcción también es una extensión de Galois de [math] \ mathbb {Q} [/ math].
Pero aquí está el punto: [matemáticas] E [/ matemáticas] tiene una estructura muy especial debido a la forma en que se construyó a través de sub-extensiones, que deberían corresponder a algo especial sobre su grupo de Galois [matemáticas] \ text {Gal} ( E / F) [/ matemáticas]. Como [math] K [/ math] es un subcampo de [math] E [/ math], podemos esperar que herede esta propiedad especial. Si luego podemos demostrar que hay algún polinomio quíntico [matemático] P [/ matemático] cuyo campo de división tiene un grupo de Galois que no tiene esta propiedad especial, entonces habremos demostrado que las raíces de ese polinomio no pueden escribirse en términos de radicales, lo que demuestra que la quintic general no puede resolverse en radicales.
Entonces, ¿qué es esta propiedad especial? Bueno, dejemos que [math] G_i [/ math] sea el subgrupo que arregla el campo [math] F_i [/ math]. No es difícil ver que [matemáticas] G_1 = \ left (\ mathbb {Z} / T \ mathbb {Z} \ right) ^ \ times [/ math]. Para todos los grupos subsiguientes, observamos que [math] F_i [/ math] es el campo de división de [math] X ^ {t_ {i – 1}} – \ alpha_ {i – 1} [/ math] sobre [math] F_ {i – 1} [/ matemáticas]. Por lo tanto,
[matemáticas] \ displaystyle G_i / G_ {i – 1} = \ text {Gal} \ left (F_i / F_ {i – 1} \ right), \ tag * {} [/ math]
pero no es difícil ver que cualquier elemento de este grupo de Galois esté completamente determinado por dónde envía [matemáticas] \ sqrt [t_ {n – 1}] {\ alpha_ {n – 1}} [/ matemáticas], y hay exactamente [matemáticas] t_ {n – 1} [/ matemáticas] opciones: [matemáticas] \ zeta_ {t_ {n – 1}} ^ k \ sqrt [t_ {n – 1}] {\ alpha_ {n – 1 }} [/ math] para [math] k = 0,1, \ ldots t_ {n – 1} [/ math]. Por lo tanto,
[math] \ displaystyle G_i / G_ {i – 1} = \ mathbb {Z} / t_ {n – 1} \ mathbb {Z} \ tag * {}. [/ math]
Tenga en cuenta que todos estos grupos son abelianos. En otras palabras, lo que hemos demostrado es que hay una cadena de subgrupos
[math] \ displaystyle \ {id \} \ subset G_1 \ subset G_2 \ subset \ ldots G_ {n – 1} = \ text {Gal} (E / \ mathbb {Q}) \ tag * {} [/ math]
tal que [math] G_ {i – 1} [/ math] es un subgrupo normal de [math] G_i [/ math] y [math] G_i / G_ {i – 1} [/ math] es abeliano. Cualquier grupo [matemático] G [/ matemático] que admita una cadena de este tipo se llama solucionable . Y, exactamente como esperábamos, cualquier subgrupo de un grupo solucionable es en sí mismo solucionable, por lo que lo que hemos demostrado es que si las raíces de [matemáticas] P (X) [/ matemáticas] pueden escribirse en términos de radicales, entonces El grupo de Galois de su campo de división debe ser solucionable.
Tenga en cuenta que hemos hecho algo realmente notable: hemos tomado un problema que era completamente intratable, ya que básicamente equivalía a un espacio de búsqueda infinito, ¡a algo que es muy finito! Esto se debe a que los grupos de extensiones finitas de Galois son ellos mismos finitos, y admiten solo finitamente muchos subgrupos; en consecuencia, si es necesario, podemos verificar exhaustivamente si existe una cadena de subgrupos que satisfagan las condiciones deseadas. Entonces, aunque no daré una prueba, notaré que el grupo [math] S_5 [/ math] que consiste en todas las permutaciones de cinco elementos no se puede resolver. Queda por encontrar un polinomio quintico cuyo grupo de Galois correspondiente es [math] S_5 [/ math].
Aquí hay un ejemplo concreto: tome [matemáticas] P (X) = X ^ 5 – 4X + 2 [/ matemáticas]. Según el criterio de Eisenstein, es irreducible. Por otro lado, uno puede usar técnicas de cálculo para demostrar que tiene tres raíces reales y dos raíces complejas. Keith Conrad ofrece una buena prueba general de que dicho polinomio debe haber asociado el grupo de Galois [matemáticas] S_5 [/ matemáticas] aquí: http://www.math.uconn.edu/~kconr… .
