Las fórmulas de dilatación del tiempo derivadas de la Teoría general y la Teoría especial se basan en cambios de energía que resultan entre dos dispositivos de mantenimiento del tiempo inicialmente sincronizados en un marco de referencia inercial. En la teoría especial, el escenario sigue una secuencia típica, los relojes K y J están en reposo en un marco de inercia común y después de sincronizarse (mantener el tiempo juntos), el reloj J se dispara a una alta velocidad. Hay un cambio en la velocidad temporal del reloj J a medida que aumenta su velocidad durante la fase de aceleración, pero esto se ignora si el tiempo que pasa navegando a velocidad constante ‘ v’ es grande en comparación con el tiempo involucrado en alcanzar la velocidad de crucero). Una vez que se alcanza la velocidad de crucero ‘ v ‘, los cohetes se apagan y J registra el tiempo a un ritmo diferente al de K tal como lo predijo la interpretación de Einstein de las transformaciones de Lorentz. No importa si la ruta del reloj J lo lleva a un planeta distante (presumiblemente en el mismo marco de inercia que el reloj K pero quizás a muchos años luz de distancia) o si la ruta está curvada de modo que el reloj J que viaja vuelve al mismo punto desde que comenzó (como se describe en la parte IV del documento de Einsteins 1905 “SOBRE LA ELECTRODINÁMICA DE LOS CUERPOS EN MOVIMIENTO”).
En la teoría de Einstein, el tiempo perdido por J se basa en la invariancia del intervalo espacio-tiempo. Como entre dos cuadros de inercia relativamente móviles (lo que significa que ninguno está acelerando) el análisis se basa en la invariancia del intervalo. Los incrementos espaciales y los incrementos temporales son ortogonales, pero se combinan de manera pitagórica de tal manera que la hipotenusa (el intervalo espacio-tiempo) es constante en todos los marcos inerciales. Por lo tanto, en el viaje anterior, K no se ha movido en el espacio, pero se ha movido en el tiempo, por lo que su intervalo de espacio-tiempo se compone de un solo componente ct donde ‘ t ‘ es la lectura del reloj K cuando J regresa. J, en comparación, se ha movido en el espacio y el tiempo, por lo que el intervalo ct para J es
ct = [(ct *) ^ 2 + (vt) ^ 2] ^ 1/2
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donde t * es el tiempo acumulado en el reloj J cuando regresa (o cuando se detiene y lee al llegar a algún planeta distante que no se mueve con respecto a K ). Dado que el intervalo para el reloj K es simplemente ct , entonces:
(ct *) ^ 2 = (ct) ^ 2 – (vt) ^ 2
o
t * = t [1 – (v / c) ^ 2] ^ 1/2
Este es un procedimiento casi convencional para determinar la dilatación del tiempo basada en las relaciones espacio-temporales. Pero esta misma fórmula se puede derivar de los principios energéticos que Curt Renshaw mostró por primera vez:
Si la energía en reposo del reloj J es Eo = mc ^ 2 y la energía de movimiento es (1/2) mv ^ 2
entonces la diferencia de energía E ‘ es
E ‘= Eo – (mv ^ 2) / 2 = mc ^ 2 – mv ^ 2/2
Luego
E ‘/ Eo = [mc ^ 2 – (mv ^ 2) / 2] / mc ^ 2 = [1 – (v ^ 2) / 2c ^ 2)]
que es aproximadamente igual a [1 – (v / c) ^ 2] ^ 1/2
en otras palabras, la dilatación del tiempo en SR depende del estado de energía cinética del reloj J , por lo tanto, no hay duda de qué reloj perdió tiempo y no ocurre ningún enigma o paradoja, porque los dos marcos inerciales no son equivalente a menos que ambos se definan en términos de un estado de energía común.
Así como la dilatación del tiempo depende de la energía energética SR, también depende de la energía en la relatividad general. Si nuestro reloj J itinerante estuviera inmerso en un potencial gravitacional, correría lento por un factor que depende directamente de la energía cinética requerida para escapar del potencial gravitacional ( 2GM / r ) – → es igual a la velocidad de escape gravitacional ve .
