Coordenadas
El plano se puede coordinar con coordenadas rectangulares, coordenadas polares u otros tipos. Los otros tipos rara vez son útiles, así que olvidémoslos. Las coordenadas polares solo son útiles cuando hay algún tipo de simetría radial, pero eso no es raro, por lo que vale la pena saberlo.
Para ambas coordenadas rectangulares y polares, comienza con un punto base específico llamado origen, un rayo base que emana de él y un punto que indica una distancia de [matemáticas] 1 [/ matemáticas] desde el origen, y una orientación del plano para que pueda distinguir en sentido antihorario de las agujas del reloj.
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Para especificar un punto en coordenadas polares [matemática] (r, \ theta) [/ matemática], necesita saber la distancia [matemática] r [/ matemática] desde ese punto hasta el origen, y el ángulo [matemática] \ theta [ / matemática] entre el rayo base y el rayo desde el origen hasta su punto, ese ángulo se mide en sentido antihorario.
Para coordenadas rectangulares, extienda el rayo base en la dirección opuesta a una línea completa llamada eje x . Los puntos a lo largo de esa línea se pueden especificar con números reales. La línea perpendicular al eje x se llama eje y . Los puntos a lo largo también se pueden especificar con números reales, los positivos están en el rayo que forma un ángulo de 90 ° medido en sentido antihorario desde el eje x positivo. Un punto es que el plano se especifica con coordenadas [matemáticas] (x, y) [/ matemáticas] si la línea perpendicular dibujada desde él al eje x se encuentra con ese eje en [matemáticas] x [/ matemáticas] y la línea perpendicular dibujada de él al eje y se encuentra con ese eje en [matemáticas] y [/ matemáticas].
Cambiar entre coordenadas
Cuatro ecuaciones le permiten cambiar entre coordenadas, a saber
[matemáticas] x = r \ cos \ theta [/ matemáticas] [matemáticas] y = r \ sin \ theta [/ matemáticas]
[matemáticas] r = \ sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} [/ matemáticas] [matemáticas] \ tan \ theta = y / x [/ matemáticas]
Las ecuaciones son redundantes ya que si conoce dos de ellas, puede determinar las otras, pero es útil conocerlas.
Parámetros para curvas
En lugar de describir una curva en coordenadas polares o coordenadas rectangulares, también puede describirla paramétricamente en términos de otra variable. Me referiré a esa otra variable como tiempo y la denotaré [math] t [/ math], pero se pueden usar otras variables.
Por ejemplo, el círculo unitario es el conjunto de puntos a 1 unidad del origen. En coordenadas polares tiene una ecuación muy simple, a saber [math] r = 1 [/ math]. Es un poco más complicado en coordenadas rectangulares: [matemáticas] x ^ 2 + y ^ 2 = 1 [/ matemáticas].
Ahora imagine que está viajando alrededor del círculo unitario con una velocidad constante 1. En coordenadas polares, su posición en el tiempo [matemática] t [/ matemática] es [matemática] (r, \ theta) = (1, t) [ / math], y en coordenadas rectangulares su posición es [math] (x, y) = (\ cos t, \ sin t) [/ math]. La ecuación [matemáticas] (x, y) = (\ cos t, \ sin t) [/ matemáticas] también se puede expresar como dos ecuaciones [matemáticas] x = \ cos t [/ matemáticas] y [matemáticas] y = \ sen t [/ math]. A veces se dice que describe la curva paramétricamente.
La parametrización que use para describir una curva depende de cómo se mueve el punto a lo largo de la curva. Por ejemplo, si viaja alrededor del círculo unitario con una velocidad constante de 3 en lugar de 1, entonces lo parametrizará como [math] (x, y) = (\ cos 3t, \ sin 3t) [/ math ] Por lo tanto, no hay una única parametrización para una curva, sino muchas diferentes.
Eliminar el parámetro
Suponga que tiene una curva dada paramétricamente y por alguna razón la quiere como una ecuación única en [matemática] x [/ matemática] y [matemática] y [/ matemática] pero sin el parámetro. Dado que tiene dos ecuaciones en las tres incógnitas [matemáticas] x, y [/ matemáticas] y [matemáticas] t [/ matemáticas], en principio puede eliminar [matemáticas] t [/ matemáticas] para obtener una ecuación en solo [matemáticas ] x [/ math] y [math] y [/ math]. El álgebra involucrado puede ser extremadamente difícil, sin embargo, en muchos casos.
Aquí hay uno donde no está: [matemáticas] (x, y) = (e ^ {2t}, e ^ t) [/ matemáticas]. Dado que [matemática] y = e ^ t [/ matemática] y [matemática] x = e ^ {2t} = (e ^ t) ^ 2 [/ matemática], por lo tanto [matemática] x = y ^ 2 [/ matemática] . Eso significa que el punto que estamos considerando es moverse a lo largo de la parábola [matemáticas] x = y ^ 2 [/ matemáticas]. Una cosa a tener en cuenta es que la curva completa podría no ser atravesada por el punto. En este caso, dado que [matemática] y = e ^ t [/ matemática], [matemática] y [/ matemática] solo puede ser positiva, por lo que la curva en este caso es la parte de la parábola [matemática] x = y ^ 2 [/ math] donde [math] y> 0. [/ Math]
