Los componentes para cualquier familia de planos o direcciones son básicamente el conjunto de todas las permutaciones de los índices familiares, tanto positivos como negativos. De acuerdo con esto, la familia más simple de direcciones [matemáticas] [/ matemáticas] tendría los siguientes componentes:
[matemáticas] ~ [100]; [010]; [001]; [\ bar {1} 00]; [0 \ bar {1} 0]; [00 \ bar {1}] [/ matemáticas]
De aquí en adelante, es una simple extrapolación derivar las instrucciones para los miembros de la familia [math] [/ math]. Sin embargo, antes de entrar en eso, no sería imprudente preguntar por qué exactamente agrupamos estas instrucciones en una ‘familia’. Después de todo, son direcciones diferentes que representan vectores matemáticamente distintos, ¿no es así?
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Bueno, sí pero no del todo. Verá, en la cristalografía y, de hecho, en la ciencia de los materiales, realmente no prestamos mucha atención a la definición matemática (léase: técnica y rígida) de los vectores. Para un científico de materiales que estudia una red simple de la FCC, por ejemplo, la dirección [matemática] [100] [/ matemática] y la dirección [matemática] [001] [/ matemática] con frecuencia significarían lo mismo aunque representar vectores a lo largo de dos ejes distintos. La razón de esto puede atribuirse a la simetría de la red . Echa un vistazo a la siguiente figura:
Esta es una celda unitaria estándar de la FCC con los átomos amarillos en las esquinas del cubo y los rosados en los centros de la cara. Ahora imagine que esta celda unitaria se repite una tras otra en todas las direcciones: ahora ha obtenido una red cristalina FCC. Correcto. A continuación, eche un vistazo más de cerca a las instrucciones etiquetadas [matemáticas] [100] [/ matemáticas] y [matemáticas] [001] [/ matemáticas]. Si ha podido visualizar la red cristalina correctamente, se daría cuenta de que siguiendo los pasos de [math] a [/ math], en ambos casos, se encontrará con un átomo amarillo.
La conclusión que derivamos de este experimento mental es que ambas direcciones son equivalentes . Si hubiera elegido definir el eje vertical como el eje X y el horizontal como el eje Z, las etiquetas de dirección en la figura se habrían invertido. De hecho, como la disposición atómica en estas dos direcciones también es idéntica, puede esperar variaciones similares en las propiedades mecánicas y funcionales en estas direcciones. Por lo tanto, se aporrean juntos en una familia.
Ahora que lo hemos sacado del camino, a la pregunta real. Como ya habrás adivinado, obtendrías una gran cantidad de miembros para la familia [math] [/ math]. Una forma de hacerlo es desglosando las permutaciones de manera ordenada:
Paso 1 : tome todas las permutaciones de índices positivos
[matemáticas] [123]; [132]; [213]; [231]; [312]; [321] [/ matemáticas]
Paso 2 : tome todas las permutaciones para un único índice negativo para cada una de las instrucciones anteriores
[matemáticas] [\ bar {1} 23]; [1 \ bar {2} 3]; [12 \ bar {3}]; [/matemáticas]
[matemáticas] [\ bar {1} 32]; [1 \ bar {3} 2]; [13 \ bar {2}]; [/ matemáticas]
[matemáticas] [\ bar {2} 13]; [2 \ bar {1} 3]; [21 \ bar {3}]; [/ matemáticas]
y así.
Paso 3 : tome todas las permutaciones para dos índices negativos para cada una de las instrucciones en el Paso 1
[matemáticas] [\ bar {1} \ bar {2} 3]; [1 \ bar {2} \ bar {3}]; [\ bar {1} 2 \ bar {3}]; [/ math]
[matemáticas] [\ bar {1} \ bar {3} 2]; [1 \ bar {3} \ bar {2}]; [\ bar {1} 3 \ bar {2}]; [/ math]
y así.
Paso 4 : Finalmente, tome todas las permutaciones para todos los índices negativos para cada dirección en el Paso 1
[matemáticas] [\ bar {1} \ bar {2} \ bar {3}]; [\ bar {1} \ bar {3} \ bar {2}]; [\ bar {2} \ bar {1} \ bar {3}]; [\ bar {2} \ bar {3} \ bar {1}]; [\ bar {3} \ bar {1} \ bar {2}]; [\ bar {3} \ bar {2} \ bar {1}] [/ math]
Esta metodología debería funcionar para todas las direcciones del tipo [math] [uvw] [/ math] donde u , v y w son enteros distintos.
