¿Cuál es la importancia de las cifras significativas?

Hay tres aspectos de lo que se informa para una medición (o cálculo basado en una medición) en un artículo científico: precisión, precisión e incertidumbre.

La precisión es qué tan cerca está el valor informado del valor real. La precisión de informar [math] \ pi [/ math] como 3.14 no es tan mala. Solo está apagado en un 0.05% más o menos.

La precisión es una medida de cuán pequeña es la diferencia reportable más pequeña. Informar la distancia de Londres a Moscú como 3 mil kilómetros no es muy preciso, pero es, dentro de ese nivel de precisión, razonablemente exacto. Informar la distancia como 2305.456 kilómetros es extremadamente preciso. Implica que su unidad de medida es un medidor. Sin embargo, no es muy preciso.

La incertidumbre es una medida de qué tipo de variación razonable puede haber en una medición. Cuando realiza una medición, su medición no es exacta. Puede ser difícil decir qué tan fuera de su medida (si supiera exactamente qué tan fuera estaba, lo arreglaría), cuando mide el diámetro del interior de una tubería de agua con una regla, por ejemplo, el diámetro puede caer entre las marcas para 154 mm y 155 mm. Puede decir que es más largo que 154 mm y más corto que 155 mm, y tal vez incluso pueda estimar que es aproximadamente un tercio del camino entre las marcas, por lo que su estimación es que es aproximadamente 154.3 mm, más o menos un par de décimas, en algún lugar entre 154.1 mm y 154.5 mm. El “dar o tomar 0.2 mm” es la incertidumbre.

Es importante comunicar esta incertidumbre de medición, porque a medida que realiza los cálculos, la incertidumbre se acumula y es importante saber al final qué nivel de incertidumbre permanece.

Por ejemplo, digamos que queríamos saber el área de la sección transversal de esa tubería de agua, para poder determinar si podría manejar la cantidad de agua que queremos pasar a través de ella. Sabiendo que el área de la sección transversal es [matemática] \ frac {\ piD ^ 2} {4} [/ matemática], podemos calcular que el área más grande podría ser [matemática] \ frac {\ pi (154.5 mm) ^ 2} {4} = 18747.650509838 mm ^ 2 [/ matemática], y la más pequeña que podría ser es [matemática] \ frac {\ pi (154.1 mm) ^ 2} {4} = 18650700960548 mm ^ 2 [/ matemática] , La incertidumbre es “más o menos [matemática] 48 mm ^ 2 [/ matemática]”.

Dado que el nivel de incertidumbre es tan grande, no tiene sentido informar tantos dígitos. El cálculo no es más preciso al hacerlo (solo conoce la respuesta dentro de [matemáticas] 48 mm ^ 2 [/ matemáticas] de todos modos), y la precisión adicional tampoco está realmente allí (su diferencia más pequeña posible es mucho más de 10 millonésimas de milímetro cuadrado). Solo está ahí porque eso es lo que informó mi calculadora.

Hablando correctamente, debe informar tanto el valor que calculó como la incertidumbre que contiene, algo así como [matemática] 18699 \ pm48 mm ^ 2 [/ matemática], aunque una forma abreviada común para eso es [matemática] 18699 (48) mm ^ 2 [/ matemáticas].

Pero ese no es el método que enseñan en las escuelas. En cambio, utilizan el método de cifras significativas , que trata de utilizar la precisión de la respuesta y los resultados para ser una indicación de incertidumbre. La idea es que se asume que la incertidumbre de la medición está relacionada con la precisión de la medición, y que las incertidumbres se combinan de manera razonable a través de cálculos, de modo que la incertidumbre del cálculo se informa adecuadamente utilizando las reglas de cifras significativas.

En nuestro ejemplo de tubería, la suposición que hacen cifras significativas es que nuestra medida de 154.3 mm tiene una incertidumbre de la mitad del último dígito, por lo que es “más o menos 50 micrómetros”, entre 154.25 y 154.35 mm. Tiene “4 cifras significativas”, por lo que debería mantenerlo como máximo durante los cálculos. Cuadrar mi 154.3 mm me da 23808.49 mm ^ 2, pero para 4 cifras significativas, eso es [matemática] 23810 mm ^ 2 [/ matemática]. Multiplicar eso por [math] \ pi [/ math] me da 74801.321081973, pero mantener solo 4 cifras significativas me da [math] 74800 mm ^ 2 [/ math] (tenga en cuenta que no puede decir que el primer cero es significativo, pero el segundo no lo es). Dividir por 4 me da [matemática] 18700 mm ^ 2. [/ matemática] Con cuatro cifras significativas, esto implica que la mejor estimación para el valor verdadero está en algún lugar entre 18695 mm ^ 2 y 18705 mm ^ 2.

Las cifras significativas no se trata de precisión o precisión, se trata de representar la incertidumbre.

Sabes, solía pensar lo mismo … pero luego me di cuenta: si me dan un número, digamos 23.45%, y me piden que haga algunos cálculos con él, ¿qué tan preciso puedo obtener? La respuesta es: solo puedo garantizar la precisión al mismo nivel que se dieron mis datos sin procesar (cuatro dígitos). Si mi respuesta, después de todos mis cálculos, me da algo como 175.8883762, ¿puedo realmente decir que esos últimos pocos lugares decimales (algo después de los primeros cuatro números) significa algo útil? No Todos ellos no tienen fundamento y se basan en mi medición menos precisa.

La razón por la cual se alientan cifras significativas en la academia es porque le brinda a usted y al lector una medida de cuán precisa es su respuesta. Un número largo puede parecer genial, y sí, es la respuesta computacionalmente “correcta”, pero alguien en el futuro podría confundirse con su número realmente largo, pensar que midió un número experimentalmente y que fue exacto en todo momento hasta el final. Este no es el caso.

Además, ¡es más fácil calificar!

Bueno, seamos sinceros, las cifras significativas son importantes porque muestran su capacidad para escribir una respuesta con precisión. Eso ya se ha señalado, pero ese no es su único propósito.

Académicamente son la forma estándar, si algún día tienes que o quieres investigar, todos tus resultados numéricos se incluirán en la escritura científica, lo que internacionalmente significa un dígito seguido de los demás detrás de una coma y multiplicado por una potencia de diez ( Es decir, 1 500 000 es 1.5 * 10 ^ 6) así es como es.

porqué es eso ?

Bueno, no sé a qué nivel está estudiando actualmente, pero el uso de valores que no están definidos por cifras significativas al aplicar múltiples funciones y fórmulas diferentes para resolver un problema conduce a la consiguiente pérdida de precisión en el futuro. Concretamente, si debe calcular el ángulo de decir un puente, hágalo sin la medida más precisa y luego calcule su capacidad de carga utilizando esta medida inexacta, su respuesta aún sería relevante, pero si necesita calcular la capacidad de tensión del cables utilizando los valores anteriores y la capacidad de torsión utilizando la capacidad de tensión que acaba de calcular, su respuesta terminará siendo inexacta.

O subestimó ligeramente la capacidad, lo que significa que solo le costó dinero a su empresa por cables y ganchos más grandes, o lo sobreestimó.

Esto puede conducir potencialmente a una tragedia.

Por supuesto, puede proporcionar un resultado aproximado del cálculo una vez que se realiza, pero tenga en cuenta que siempre debe proporcionar la respuesta más precisa posible, y fuera de las anotaciones científicas, debe usar fracciones siempre que pueda.

E incluso entonces, cuando proporcione esta respuesta “redondeada”, nunca la use, use la más precisa y solo muéstrela con fines informativos.

Las cifras significativas son importantes para mostrar la precisión de su respuesta. Esto es importante en ciencia e ingeniería porque ningún dispositivo de medición puede realizar una medición con una precisión del 100%. El uso de cifras significativas permite al científico saber qué tan precisa es la respuesta o cuánta incertidumbre existe.

Supongamos que mide la masa como 45 kg y la multiplica por g = 9.81 para dar un peso = 441.45 N. Esta respuesta causa confusión porque cualquiera que lo vea pensará que el peso es precisamente 441.45 N, mientras que podría ser 446.3 N, por ejemplo, porque la masa podría ser de 45,5 kg en realidad. Su dispositivo no pudo medir la masa con mucha precisión y el error se realizó al calcular el peso. El uso de cifras significativas elimina este malentendido.

Las cifras significativas son una técnica utilizada en los cálculos para indicar la precisión de sus números. Digamos, por ejemplo, que tiene 1 dividido entre ocho, una calculadora le dirá que la respuesta es 0.125. Su respuesta tiene 3 cifras significativas, contando todos los dígitos sin incluir ceros a la izquierda ni ceros a la izquierda. Pero el problema original de cada porción era un solo dígito, por lo que su respuesta solo debería tener 1 dígito significativo, por lo que la respuesta se registrará como solo 0.1. Del mismo modo, 68 X 57 = 3876 se escribiría como 3900 bajo los principios de cifras significativas.

Fuera de mi cabeza, dan la precisión asociada de un procedimiento aplicado, ya sea experimental / computacional. Su “resultado” solo puede expresarse en términos de la cantidad de dígitos significativos en la cantidad medida menos precisa. La precisión aumenta con mejores mediciones y dígitos más significativos.

Se utilizan cifras significativas para definir la precisión. Por ejemplo, 273² = 74529, pero si el número original no es preciso pero es 272.5 a 273.5, entonces su cuadrado es 74256.25 a 74802.25. Entonces, decenas y unidades son insignificantes, y podemos escribir la respuesta como 74500 ± 300.

Los dígitos en un número que se conocen con la máxima precisión posible (certeza) se conocen como cifras significativas.