La respuesta a esto es realmente muy simple, pero voy a tomar la ruta panorámica. Tengan paciencia conmigo. Además, supongo que querías decir
[matemáticas] u \ rightarrow d + W ^ + \ rightarrow d + \ nu_e + e ^ + [/ math]
porque necesitas conservar la carga.
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Ambos son diagramas de Feynman perfectamente válidos (aparentemente). Estos diagramas tienen reglas que le permiten calcular la amplitud de probabilidad para cada interacción. Obviamente no voy a poder explicar cómo evaluarlos, ya que ese es el contenido de un curso o dos en QFT. Sin embargo, las reglas generales para diagramas simples como este son:
- Para cada vértice, obtienes un factor de la constante de acoplamiento que corresponde a ese vértice, y una función delta que impone la conservación de 4 momentos
- Para cada línea interna (en este caso, las únicas líneas internas son las onduladas), obtiene un factor del “propagador” correspondiente
- Se integra sobre todos los 4 momentos internos que no se han determinado.
Los diagramas como este son súper simples porque en realidad no hay momentos indeterminados; La conservación de 4 momentos en el vértice izquierdo nos dice exactamente cuál es el momento de la W. La amplitud de probabilidad para este proceso (después de algunos giros y vueltas relacionados con el hecho de que [math] W ^ + [/ math] es un bosón vectorial) se ve esencialmente así:
[matemáticas] \ matemáticas {M} \ propto \ frac {g_W ^ 2} {p_W ^ 2-M_W ^ 2} [/ matemáticas]
donde [math] g_W [/ math] es la constante de acoplamiento, [math] p_W [/ math] es el impulso de 4 de [math] W ^ + [/ math], y [math] M_W [/ math] es su masa Como resultado, la constante de acoplamiento para el electrón es la misma que la constante de acoplamiento para el muón, por lo que, en apariencia, las amplitudes deberían ser las mismas, y de hecho eso es exactamente lo que vemos en los experimentos de alta energía: el [matemática] W ^ + [/ matemática] los bosones se descomponen en electrones, muones y tauones con casi exactamente la misma probabilidad.
Entonces, ¿qué da?
Bueno, la magia se encuentra en el paso 1 anterior, con la conservación de 4 momentos. Digamos que el quark ascendente entrante tiene 4 ímpetu [math] p_u [/ math], el quark descendente saliente tiene 4 momentum [math] p_d [/ math], el lepton saliente tiene 4 momentum [math] p_l [/ math ], y el neutrino saliente tiene 4 momentos [math] p_ \ nu [/ math]. Eso significa que [math] p_W = p_d-p_u = p_l + p_ \ nu [/ math]. Miremos esto cinemáticamente. Ya que
[matemáticas] p = (E, \ vec p) [/ matemáticas], esto dice que
[matemática] (E_d-E_u, \ vec p_d – \ vec p_u) = (E_l + E_ \ nu, \ vec p_e + \ vec p_ \ nu) [/ math]
tomando la norma de estas cantidades (no olvide sus signos menos), el LHS es
[matemáticas] (E_d-E_u) ^ 2 – (\ vec p_d – \ vec p_u) ^ 2 = E_d ^ 2 + E_u ^ 2 – 2 E_d E_u – | \ vec p_d | ^ 2 – | \ vec p_u | ^ 2 + 2 \ vec p_d \ cdot \ vec p_u = M_d ^ 2 + M_u ^ 2 – 2 (E_d E_u – \ vec p_d \ cdot \ vec p_u) [/ math]
y el RHS es
[matemáticas] (E_l + E_ \ nu) ^ 2 – (\ vec p_l + \ vec p_ \ nu) ^ 2 = E_l ^ 2 + E_ \ nu ^ 2 + 2 E_l E_ \ nu – | \ vec p_l | ^ 2 – | \ vec p_ \ nu | ^ 2 – 2 \ vec p_l \ cdot \ vec p_ \ nu = M_l ^ 2 + M_ \ nu ^ 2 + 2 (E_l E_nu – \ vec p_l \ cdot \ vec p_ \ nu) [ /matemáticas]
Debido a que la masa del neutrino es básicamente cero (entonces [matemática] p_ \ nu \ aprox E_ \ nu [/ matemática]), esta ecuación se puede simplificar para dar
[matemáticas] M_d ^ 2 + M_u ^ 2 – M_l ^ 2 = 2 (E_d E_u – \ vec p_d \ cdot \ vec p_u + (E_l – | \ vec p_l |) E_ \ nu) [/ math]
Debido a que la energía debe ser estrictamente mayor que su impulso de 3, esto implica que el RHS debe ser estrictamente positivo, por lo que
[matemáticas] M_d ^ 2 + M_u ^ 2 – M_l ^ 2 \ geq 0 [/ matemáticas]
Uf. Que desastre. Pero aquí es donde radica la solución. La masa de los quarks dentro de un neutrón o protón es algo complicado de hablar, pero son más o menos del orden de unos pocos MeV. La masa de un electrón es de aproximadamente 0,5 MeV, por lo que se satisface la desigualdad. Pero la masa de un muón es algo así como 100 MeV, por lo que esa reacción está cinemáticamente prohibida.
La conservación del impulso de 4 es una restricción poderosa en los procesos relativistas. Aunque los diagramas de Feynman asociados con las dos desintegraciones parecen indicar que la “desintegración beta del muón” y la “desintegración beta del electrón” deberían ser igualmente probables, llevar a cabo el cálculo revelaría que la primera es energéticamente imposible mientras que la segunda está permitida. Matemáticamente, terminaríamos con una función delta cuyo argumento nunca fue cero; físicamente, las partículas salientes de una desintegración nunca pueden tener una masa total de reposo mayor que las entrantes.
