Voy a hacer algunas suposiciones aquí. Primero, supongo que recién estás comenzando a estudiar física (¡bienvenido!). En segundo lugar, supongo que está preguntando porque desea desarrollar una sensación intuitiva de por qué las cosas funcionan de la manera en que lo hacen (lo cual es increíble, ¡ me encantan los estudiantes como usted!)
1) Así que voy a tratar de mostrar por qué esto es cierto de una manera que creo / espero hace que el resultado sea un poco más intuitivo. La situación y la respuesta que está viendo son complejas (y la forma en que se escribe la respuesta, aunque es correcta, no se centra en esa comprensión). De todos modos, la situación que se está discutiendo es aquella en la que la fuerza que actúa para desacelerar algo es más o menos constante (haremos como si fuera constante) Eso hace que la aceleración del automóvil sea una constante que depende de la masa: [matemática] a = \ Sigma F / m = constante / m [/ matemática]. Dado que hay una aceleración constante (y solo por ese hecho) podemos mostrar que la distancia es proporcional a [matemáticas] \ Delta t ^ 2 [/ matemáticas].
Para entender esto, debemos recordar que la distancia que recorremos depende de la velocidad promedio y del tiempo en que se mueve el automóvil. Sin embargo, la velocidad promedio también está relacionada con el tiempo, porque el tiempo que viaja el automóvil es mayor para una mayor velocidad de arranque y, por lo tanto, una mayor velocidad promedio. Entonces el tiempo entra dos veces … si el tiempo de viaje es dos veces mayor, entonces la velocidad promedio también debe ser el doble, entonces la distancia es [matemática] 2 \ veces 2 [/ matemática] = 4 veces mayor.
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Hagamos esto más precisamente con algo de álgebra. Para una aceleración constante, la velocidad promedio está a medio camino entre la velocidad al inicio y al final, y dado que este automóvil se detiene, la velocidad final es cero. Eso significa que la velocidad promedio es la mitad de la velocidad inicial ([matemática] v_ {ave} = 1/2 v_i [/ matemática]) de modo que la distancia que recorremos es la mitad de la velocidad inicial multiplicada por el tiempo ([matemática] \ Delta s = 1/2 v_i \ Delta t [/ math])
Pero el tiempo que viajamos depende de la velocidad inicial, ¡debido a la aceleración nuevamente! De hecho, dado que [math] a = \ Delta v / \ Delta t [/ math] se deduce que [math] \ Delta v = a \ Delta t [/ math].
Como el cambio en la velocidad es de la velocidad inicial a 0, podemos ver que el cambio en la velocidad es igual a [math] v_i [/ math], lo que nos da [math] v_i = a \ Delta t [/ math]
Poniendo esto juntos tenemos [matemática] \ Delta s = 1/2 v_i \ Delta t [/ matemática] = [matemática] 1/2 (a \ Delta t) \ Delta t [/ matemática] = [matemática] 1/2 a \ Delta t ^ 2 [/ matemáticas]
2) La forma en que la persona que respondió ha elegido describir la forma en que funciona la fuerza es desafortunada aquí, y técnicamente es un poco incorrecta. Lo que intentan decir es que algunas fuerzas aumentarían cuando la masa del carro fuera mayor, por lo que si la masa fuera dos veces mayor, la fuerza también sería dos veces mayor. Eso significaría que habría dos veces la fuerza para detener el doble de la masa, y las cosas se detendrían de la misma manera.
Para demostrar que el doble de la masa significa el doble de la fuerza, podríamos decir que la fuerza es igual a algunas veces constantes por la masa, [matemática] F = m (constante) [/ matemática]. Dos veces la masa, dos veces la fuerza. Tres veces la masa, tres veces la fuerza, etc. Pero han optado por escribir esa constante como [math] F_0 [/ math], lo que no es realmente bueno porque la constante no es una fuerza. A menudo escribimos un valor especial o inicial como [math] something_0 [/ math], pero eso no es lo que está aquí. Es un poco descuidado, pero bueno, la persona ha tratado de dar una buena respuesta, así que felicitaciones de todos modos.
Si está tratando de entender lo que está sucediendo en la pregunta, y conoce suficiente física para haber estudiado la energía, entonces es más fácil responder la pregunta de esa manera, por cierto. La cantidad de energía eliminada por fricción es igual a la fuerza multiplicada por la distancia ([matemática] \ Delta E = F \ Delta s [/ matemática]) … y la energía en un objeto en movimiento es [matemática] E_k = 1/2 mv ^ 2 [/ math] que ves es más grande si la masa es más grande. Una energía de partida más grande obviamente significa que el cambio en la energía para detenerse es mayor.
Si la fuerza es constante y el cambio de energía es mayor, entonces la fuerza tiene que actuar durante una distancia más larga para detener el carro. Eso es realmente todo lo que hay que hacer.
