Las formas únicas surgen de la necesidad de calcular la tasa de cambio de los campos escalares a lo largo de una ruta definida en una variedad.
En un espacio tridimensional, con coordenadas x, y y z, la tasa de cambio de una función f (x, y, z) a lo largo de una curva c (x, y, z) {parametrizada como c (λ), eligiendo algunas funciones p (λ), q (λ) y r (λ) y haciendo x = p (λ), y = q (λ) y z = r (λ)}, se calcula como df / dλ = ∂ f / ∂x * dx / dλ + ∂f / ∂y * dy / dλ + ∂f / ∂z * dz / dλ = producto de puntos del vector gradiente y del vector tangente a la curva. Donde los componentes del vector gradiente son ∂f / ∂x, ∂f / ∂y y ∂f / ∂z. Y las componentes del vector tangente a la curva son dx / dλ, dy / dλ y dz / dλ. Si el vector de gradiente se denota como u, entonces uv (v es cualquier vector) es un escalar. De ahí que ‘tú’. El operador se considera de una forma, ya que toma un vector como argumento y le da escalar como salida. Por lo tanto, el gradiente es de una forma.
Cuando se debe hacer lo mismo en una variedad n-dimensional, nos quedamos sin símbolos y, por lo tanto, utilizamos convenciones simbólicas y de suma para simplificar la vida. Por ejemplo, representamos x, y, z, etc. como xμ (convención para poner el índice en la parte superior, μ corre de 1 a n, lo que simplifica la notación, soy nuevo en quora y no tengo idea de cómo superponer el μ , disculpe por eso, le indicaré en cada uso de μ si es un superíndice o subíndice).
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Ahora los componentes del gradiente (que es una forma) en una variedad n-dimensional se denotarán como ∂f / ∂xμ (μ en la parte superior es una convención, como se indicó anteriormente, sin embargo, ∂xμ está en el denominador, lo que da un índice descendente general del objeto naturalmente) también se denota como ∂μf (aquí μ está abajo, es un subíndice). Observe la consistencia de la convención para colocar índices: los componentes de un gradiente (una forma) tienen índices que aparecen naturalmente en la posición inferior. Esto muestra que estos objetos resultan naturalmente de la necesidad de calcular la tasa de cambio de los campos escalares a lo largo de una ruta especificada. La tasa de cambio se calcularía como ∂f / ∂xμ * dxμ / dλ (μ en la parte superior en ambos casos, y existe una suma implícita según la convención de suma de Einstein). Dando origen naturalmente al objeto con un índice suscrito ∂μf = ∂f / ∂xμ llamado gradiente en este caso (una forma en general para objetos de índice suscrito)
Descargo de responsabilidad: Toda la información anterior se basa en mi comprensión del concepto. Esto no debe tomarse para explicar el origen puro de las formas únicas.
