El concepto de una superficie de Fermi puede existir sin un potencial de red cristalina, y así es como se presenta por primera vez. Luego, activar un potencial de red cristalina (es decir, introducir el concepto de zonas de Brillouin en la imagen) puede afectar la forma de la superficie de Fermi y / o el número de superficies de Fermi.
Superficie de Fermi en un gas Fermi sin red cristalina
El concepto de una superficie de Fermi surge del tratamiento de electrones como partículas en una caja con condiciones de contorno periódicas, que no interactúan, aparte de la exclusión de Pauli. La longitud de la muestra a lo largo de cada dimensión, L, establece el tamaño del cuadro. Las soluciones de función de onda para este problema son funciones sinusoidales con el vector de onda [matemática] k_n = 2 n \ pi / L [/ matemática] (n es un entero positivo; el factor de 2 proviene de las condiciones de contorno periódicas; para tres dimensiones tendrá soluciones equivalentes independientes a lo largo de las direcciones x, y y z) y las energías propias correspondientes [matemáticas] E_n = \ hbar ^ 2 k_n ^ 2 / 2m [/ matemáticas]
Para construir una superficie de Fermi, llenas cada estado disponible con dos electrones de espín opuesto, desde la energía más baja hasta la más alta, hasta que uses todos los electrones de valencia. El límite de la esfera resultante (en 3D) en el espacio de momento forma la superficie de Fermi. A 0K, este es un límite nítido y a temperatura finita, este límite se vuelve un poco borroso, pero el ancho de la borrosidad es mucho menor que el radio de la esfera. Una derivación más detallada se puede encontrar aquí: Página en umd.edu
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Boceto de la superficie de Fermi en 3D. El patrón de rejilla en el recorte denota que hay estados cuánticos discretos (definidos por el momento (kx, ky, kz)) para que los electrones ocupen. Imagen de: Many Body Physics 620
Esta simple imagen ya es suficiente para lograr intuiciones y resultados importantes sobre las propiedades de los metales .
- Las excitaciones de baja energía ocurren en el límite de la superficie de Fermi. Si un electrón en el interior de la superficie de Fermi quería aumentar un poco su energía, no puede hacerlo, porque esos estados están completamente ocupados.
- Se pueden obtener expresiones para cantidades termodinámicas, como la dependencia de la temperatura del calor específico, y estas expresiones son correctas para muchos metales reales.
Sin embargo, esta imagen también falta porque
- No hay forma de obtener un aislante
- No hay forma de obtener múltiples superficies Fermi
Para esto, necesitamos activar el potencial reticular.
Activar el potencial reticular (modelo de electrones casi libres)
Ahora, presentamos la red cristalina (a = constante de red) que introduce simultáneamente el concepto de zonas de Brillouin en el espacio de momento. Según el teorema de Bloch, cualquier solución a la ecuación de Schrödinger en un potencial periódico debe tener la misma periodicidad que el potencial. En una imagen espacial real, la solución de función de onda se verá igual en cada celda unitaria del cristal. En una imagen de espacio de impulso, la dispersión de la banda (y la superficie de Fermi) se verá idéntica en cada zona de Brillouin, y se abrirá un espacio en los puntos donde se cruzan las bandas cuyo tamaño (2V) depende de la magnitud del potencial de la red. Esto permite aislantes o semiconductores, cuando el número de electrones de valencia llena exactamente la banda inferior. 
Dispersión de banda, en representación de zona extendida. Cuando se introduce un potencial periódico, debe aparecer la misma parábola de electrones libres en cada zona de Brilliouin, centrada en k = 0, +/- 2pi / a, +/- 4pi / a, etc.
Pequeña superficie de Fermi + potencial de celosía
La sección anterior discutió la dispersión de la banda, así que volvamos la discusión a las superficies Fermi. Una cosa a tener en cuenta en la imagen de arriba es que la dispersión de la banda cerca del centro de la zona de Brillouin (k = 0, 2pi / a, etc.) no cambia por el potencial cristalino, mientras que la dispersión cerca del límite de la zona de Brillouin (pi / a, 3pi / a, etc.) se modifica sustancialmente. Cuanto mayor es el potencial, mayor es la región de momento donde se observa esta modificación.
Cuando la superficie de Fermi es ‘pequeña’ ( es decir, el radio en el espacio de momento, kF, es menor que pi / a ), el potencial reticular puede afectar la forma de la superficie de Fermi (pero no el volumen cerrado, según el teorema de Luttinger). En particular, las regiones cercanas al límite de la zona de Brilliouin se abultan hacia el límite de la zona de Brillouin. Si el potencial es lo suficientemente fuerte y la superficie original de Fermi está lo suficientemente cerca, la superficie de Fermi puede distorsionarse para tocar el límite de la zona de Brillouin, como lo hace en el cobre.
Boceto de la superficie de Fermi de electrones casi libres en 2D. El rojo representa la superficie original de Fermi de electrones libres, y el naranja y el azul representan la distorsión debido al aumento del potencial reticular. 
Superficies de fermi de tres metales monovalentes, lo que refleja un potencial de red cada vez mayor que va de izquierda a derecha, lo que se manifiesta en un aumento de “abultamiento” hacia el límite de la zona de Brillouin. Fuente de la imagen: “The Oxford Solid State Basics” de Steven H. Simon.
Gran superficie de Fermi + potencial de celosía
Cuando la superficie de Fermi es lo suficientemente grande como para sobrellenar la primera zona de Brillouin, como es el caso de los metales divalentes o trivalentes, las cosas se vuelven más interesantes.
La superficie de Fermi de electrones libres se extiende hacia la segunda zona de Brillouin, pero debido a que cada zona de Brillouin tiene la misma estructura electrónica, estos bits adicionales se encontrarán también en la primera zona de Brillouin. Para un metal divalente (vea el pie de imagen a continuación) en una red cuadrada 2D, el resultado final es dos bandas: una cavidad en la esquina de la zona de Brillouin y bolsas de electrones oblongas en los bordes de la zona de Brillouin. Si el potencial del cristal es muy fuerte, la superficie de Fermi puede distorsionarse para llenar toda la zona de Brillouin, lo que genera un aislante.
Efecto del potencial de red cristalina para un metal divalente en una red cuadrada 2D. De izquierda a derecha: 1) la superficie original de Fermi sobrellena la primera zona de Brillouin 2) al activar el potencial de red distorsiona la forma de la superficie de Fermi 3) Los electrones llenan casi toda la primera zona de Brillouin, pero hay estados vacíos en las esquinas. Cuando la zona de Brillouin se llena casi por completo, generalmente se piensa en términos de bolsas de agujeros (las esquinas vacías) en lugar de superficies de Fermi similares a electrones. 4) Las partes de la superficie de Fermi que incidieron en la segunda zona de Brillouin pueden considerarse parte de la primera zona de Brillouin porque son equivalentes. 5) (abajo) Si el potencial de la red cristalina es lo suficientemente fuerte, 2 electrones por unidad de celda llenará toda la zona de Brillouin y tendrá un aislante porque no hay estados vacíos para excitar. Imagen parcialmente de “Introducción a las propiedades electrónicas de los materiales, 2ª edición” de David C. Jiles. Aquí se puede encontrar otra explicación: Conferencia 20: Relaciones de dispersión periódica en 2D (2)
El mismo ejercicio se puede repetir para 3D y para más electrones de valencia. La idea es la misma: si la esfera de electrones libres sobrellena la primera (o segunda) zona de Brillouin, las partes adicionales se pueden plegar nuevamente en la primera zona de Brillouin para producir múltiples superficies de Fermi. Puede ser difícil de visualizar, pero muchas de las intuiciones sobre las superficies de Fermi que existen en ausencia de una red cristalina aún se mantienen. 
Fermi emerge en celosía BCC, de “Física de la materia condensada” de Michael P. Marder
Recursos adicionales:
Página en ox.ac.uk
http://www.st-andrews.ac.uk/~apm…
“Física de estado sólido” por Ascroft y Mermin
[ Superficie de Fermi de Cu que tiene una red BCC. Los ‘agujeros’ se deben a que la superficie de Fermi sobresale del primer BZ. En realidad no son agujeros, pero se conectan suavemente al agujero en el lado opuesto de la BZ.] 