La teoría especial de la relatividad, contraria a la creencia común, es en realidad muy simple. ¿Cómo describiría todas las transformaciones que preservan la distancia? Debe ser una combinación de uno o más de rotación, traslación, imagen especular, etc.
Distancia, entre cada dos puntos se conserva, en otras palabras:
[matemáticas]
ds = \ sqrt {dx ^ 2 + dy ^ 2 + dz ^ 2}
[/matemáticas]
[math] ds [/ math] se conserva. Si estamos mirando a alguien y pensamos cuáles son sus coordenadas, podemos pensar en ellas simplemente como una transformación que preserva [matemáticas] ds [/ matemáticas], si él está realmente en reposo. Si se mueve, necesitaremos agregar un término (tiempo × velocidad ) para compensar la transformación normalmente. Pero Einstein / Minkowski dijo, espera un minuto, solo piensa en una rotación en 4 dimensiones, que conserva la siguiente cantidad:
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[matemáticas]
c ~ d \ tau = \ sqrt {c ^ 2 dt ^ 2 – (dx ^ 2 + dy ^ 2 + dz ^ 2)}
[/matemáticas]
Donde [math] c [/ math] es la velocidad de la luz. Entonces, para la luz, este término que llamamos “tiempo apropiado” es cero. Dado que la rotación mantiene esta nueva definición de distancia, la velocidad de la luz es la misma en todas las referencias, porque coinciden en que esta métrica es cero.
Ahora, ¿cómo se ve (rotación + traducción): (Olvidaremos las imágenes especulares, y la que cambia x, y, z a x, z, y que cambia el sistema de diestro a zurdo, y el momento en que viaja hacia atrás).
Ahora queremos pensar en una partícula que se mueve a una velocidad constante ‘v’,
[matemáticas]
\ begin {align}
\ sqrt {(\ frac {dx} {dt}) ^ 2 + (\ frac {dy} {dt}) ^ 2 + (\ frac {dz} {dt}) ^ 2} & = v ^ 2 \\
dx ^ 2 + dy ^ 2 + dz ^ 2 & = v ^ 2 dt ^ 2 \\
\ end {align}
[/matemáticas]
Ahora solo sustitúyalo en la ecuación de tiempo adecuada:
[matemáticas]
\ begin {align}
c ~ d \ tau & = \ sqrt {c ^ 2 dt ^ 2 – (dx ^ 2 + dy ^ 2 + dz ^ 2)} \\
& = \ sqrt {c ^ 2 dt ^ 2 – v ^ 2 dt ^ 2} \\
& = \ sqrt {(c ^ 2 – v ^ 2) dt ^ 2} \\
d \ tau & = dt \ sqrt {1 – (v / c) ^ 2}
\ end {align}
[/matemáticas]
Para aclarar la notación, [math] dt [/ math] es el tiempo que medimos en nuestros relojes, [math] d \ tau [/ math] es en lo que todos están de acuerdo, pero para ellos [math] dt ‘= d \ tau [/ matemáticas] porque en su marco no se mueven.
Lo cual no es más que derivación de la dilatación del tiempo. Puedes hacer geometría y derivar la mayoría de las cosas. Solo agregue el hecho de que la masa en reposo de la partícula es el único escalar razonable en el que todos están de acuerdo y obtiene la famosa ecuación de energía, la ecuación de momento, y todo sigue. Mi forma favorita de hacer esto es usar el teorema de Lagrangian y Noether. Pero casi muy simple cálculo universitario.
