Quiero entender la relatividad general de Einstein, pero no puedo entenderla debido a las matemáticas involucradas. ¿Qué temas de matemáticas necesito saber para entenderlo?

Hay un libro muy bueno sobre relatividad general que puede ser muy efectivo para enseñar las ideas básicas de la teoría mientras prescinde de tecnicismos y matemáticas. La escritura es muy descriptiva y utiliza diagramas para ilustrar las características geométricas de la teoría, abordando simultáneamente las relaciones entre los eventos del espacio-tiempo evaluados por instrumentos de medición como pulsos de luz y relojes (un enfoque que, por cierto, era importante cuando el propio Einstein comenzó pensando en estas preguntas). Al final del libro, el autor incluso utiliza una maquinaria tan simple para explicar algunas características de los agujeros negros, que pueden ser bastante estimulantes para el lector, ya que proporciona una idea de cuán poderosa es la Relatividad General para lidiar con sistemas físicos reales. y problemas Una de las mejores características del libro, en mi opinión, es que, aunque deja de lado las matemáticas, todavía está centrado en la geometría, y esa es la forma en que los físicos modernos abordan la teoría. En resumen, si no conoce las matemáticas, este libro puede ser una valiosa introducción para peatones. Relatividad general de A a B: Robert Geroch: 9780226288642: Amazon.com: Libros.

Avanzando, Gravity: An Introduction to Einstein’s General Relativity: James B. Hartle: 9780805386622: Amazon.com: Books puede ser un muy buen libro para comenzar a aprender la teoría de la relatividad de una manera más técnica, es decir, la forma en que los físicos entienden la teoría y trabajar en ello.

Luego, puede buscar un libro de texto más avanzado, como Relatividad general: Robert M. Wald: 9780226870335: Amazon.com: Libros (mi favorito) o Gravitación: Charles W. Misner, Kip S. Thorne, John Archibald Wheeler: 9780716703440: Amazon.com: Libros. (Personalmente, no recomendaría Gravitación y cosmología: principios y aplicaciones de la teoría general de la relatividad de Steven Weinberg (03/07/72): Steven Weinberg: Amazon.com: Libros, ya que se considera obsoleto en su enfoque por la mayoría de los especialistas. Sin embargo, puede ser valioso como libro de texto complementario).

Los libros de Hartle y Wald, en particular, son bastante independientes, ya que ambos proporcionan una visión decente sobre las matemáticas que se utilizan en todos los libros. La mayoría de los físicos están inicialmente satisfechos con eso, y luego aprenderán las matemáticas adecuadamente cuando las necesiten o simplemente tengan la curiosidad de hacerlo. Y, por supuesto, si se queda atascado en algún momento en particular, puede buscar recursos adicionales antes de regresar. (Por cierto, eso es lo que hacen la mayoría de los estudiantes de física).

Las otras respuestas que le dicen cuáles son los temas de matemáticas que necesita saber para comprender GR son correctas. Sin embargo, debe tener en cuenta si realmente quiere aprender muchas matemáticas antes de poner sus manos en la física de GR. Este dilema es muy personal y depende de cómo prefiera aprender física.

No necesitas saber nada de matemáticas, a menos que quieras convertirte en físico y hacer cálculos. Como dijo Paul Dirac, un famoso físico:

La matemática es solo una herramienta y uno debe aprender a mantener las ideas físicas en la mente sin referencia a la forma matemática.

En segundo lugar, no tiene que saber nada (ni siquiera conceptos) sobre la curvatura y las variedades Riemannianas. Incluso Einstein llamó a la notación de cuatro dimensiones “erudición innecesaria”. Para Einstein, la gravedad era un campo de fuerza como otros campos de fuerza.

Todo lo que necesita saber es que la gravedad es un campo de fuerza como el EM, campos de fuerza fuertes y débiles, pero con diferentes propiedades, una de las cuales es que actúa sobre todo, no solo sobre las cosas con una carga eléctrica, etc. el parentesco es especialmente cierto en la teoría cuántica de campos, donde todo es un campo, incluso la materia. (Como dijo una vez un amigo religioso, “Sería extraño que Dios creara todo fuera de los campos, excepto la gravedad”).

Mi libro explica los conceptos de QFT, incluida la relatividad general, a un público lego sin usar matemática (aunque e = mc2 hace un cameo, y su significado se explica de una manera simple que no encontrará en ningún otro lugar). En la relatividad general, el espacio es el mismo espacio tridimensional “euclidiano” en el que creemos intuitivamente, y el tiempo es el mismo tiempo en el que creemos intuitivamente. Es mejor dejar las cuatro dimensiones y la “curvatura” a los físicos que las encuentran útiles. en sus cálculos Al menos lea el Capítulo 1 de mi libro, que está disponible de forma gratuita en quantum-field-theory.net.

Esta pregunta puede tener muchas respuestas diferentes, dependiendo de lo que usted defina exactamente como “entender” el tema. Como ejemplo personal, he estado investigando en relatividad general durante más de 4 años, pero diría que recién ahora estoy empezando a comprender verdaderamente la teoría.

• Para comenzar a hacer cálculos en relatividad, uno necesita muy poco: álgebra lineal, cierta habilidad para resolver ecuaciones diferenciales y cálculo multivariable son suficientes (de hecho, probablemente pueda salirse con la suya si conoce poca o ninguna integración multivariable). De ellos, puede aprender fácilmente el cálculo básico del tensor introducido en los capítulos preliminares de la mayoría de los libros de texto GR, y luego calcular cosas como el tensor de Riemann y la curvatura de Ricci.
• Para ver de dónde provienen las Ecuaciones de campo de Einstein y ver por qué / cómo describen la relatividad general, uno debe estudiar la geometría diferencial, específicamente la geometría de Riemann y su geometría derivada de Lorentz, la etapa en la que tiene lugar el GR. Aquí aprenderá sobre múltiples diferenciables y los objetos definidos en ellos, como vectores, formas diferenciales y tensores, en un sentido más abstracto pero concreto. En muchos libros de texto de GR, el primer capítulo está dedicado a los antecedentes necesarios en geometría diferencial; sin embargo, algunos libros lo hacen bien pero de manera avanzada ( ver: el libro de Wald ), mientras que otros lo hacen … de forma incompleta.

• Para aprender geometría diferencial, necesitará el cálculo multivariable mencionado anteriormente, las ecuaciones diferenciales y el álgebra lineal, así como algunos análisis reales y topología de conjuntos de puntos. Probablemente aprenderá la topología necesaria mientras aprende el análisis real.

• La única matemática que necesitará para aprender todo esto a un nivel satisfactorio es el álgebra lineal, el cálculo multivariable y unas pequeñas ecuaciones diferenciales parciales para el electromagnetismo.

Mi consejo para usted: trate de hacer los cálculos divertidos lo antes posible. Esto evitará que se sienta frustrado y desanimado de aprender el tema mientras nada en un mar de notación matemática y lucha con las definiciones abstractas. Para esto, recomendaría libros como Relatividad especial | NMJ Woodhouse y la relatividad general | NMJ Woodhouse, y una cosa muy incomprensible: notas hacia una introducción muy suave a las matemáticas de la relatividad: Peter Collier. Después de eso, tendrá la confianza y la madurez para sumergirse en los clásicos más estándar (y difíciles), donde las matemáticas se involucran bastante pero se le da una amplia explicación en las primeras secciones. Algunos de estos son: Relatividad general: Robert M. Wald y The Large Scale Structure of Space-Time: Stephen W. Hawking, GFR Ellis.

Bueno, depende de cuánto quieras entender al respecto, pero creo que primero necesitas entender la relatividad especial y eso es comprensible en gran medida sin ninguna matemática.

El quid de la cuestión es que los experimentos han demostrado que las leyes de la física son las mismas en todos los marcos de referencia inerciales, es decir, en cualquier lugar donde no haya aceleración. Simplemente haciendo experimentos mentales con las consecuencias de eso, puedes obtener algo de comprensión.

En particular, cuando piensa en los rayos de luz, por ejemplo, en un tren en movimiento rápido y cómo alguien lo observa en el tren y alguien fuera del tren. Todo esto basado en el supuesto de que la velocidad de la luz es constante en todos los cuadros inerciales.

La razón por la que debe ser cierto que la velocidad de la luz es constante en todos los cuadros inerciales es que siempre y donde medimos la velocidad de la luz encontramos el mismo valor. No importa si medimos la velocidad en la dirección de rotación de la Tierra o en la dirección opuesta, por ejemplo.

Todo lo demás se sigue de eso. Las matemáticas involucradas son importantes para formalizar todo esto. En otras palabras: para escribirlo de manera precisa que se pueda verificar la consistencia de manera precisa. Y como resulta que las matemáticas funcionan, podemos decir que esto es evidencia de que la relatividad especial basada en la constancia de la velocidad de la luz en todos los marcos de referencia inerciales es una teoría correcta. Si no entiende las matemáticas, debe tomar la palabra de los matemáticos de que todo “suma”.

Para la relatividad general, necesita matemática para comprenderla completamente, pero creo que puede comprenderla con solo un poco de matemática, creo. Tienes que entender las dimensiones y los sistemas de coordenadas básicos. En resumen: debes saber que:
1: Una línea solo tiene una dimensión. Solo puede moverse hacia adelante y hacia atrás en una dirección.
2: Una superficie plana tiene 2 dimensiones. Puede moverse hacia adelante y hacia atrás, hacia la izquierda y hacia la derecha y en cualquier combinación de eso.
3: El espacio tiene 3 dimensiones. La tercera dimensión se mueve hacia arriba y hacia abajo.
4: Esto puede ser un poco más complicado, pero el tiempo también podría considerarse una dimensión.

No es una dimensión espacial como las primeras 3 dimensiones (3D), pero aún tiene muchas características similares y resulta que las matemáticas “se suman” si se considera que el tiempo es una cuarta dimensión.

Entonces también necesita una comprensión fundamental sobre lo que significa la curvatura. La curva más simple es una línea curva. En principio, esa línea sigue siendo unidimensional porque el movimiento solo es posible a lo largo de la línea, pero la curva usa la segunda dimensión para “curvarse”. Del mismo modo, un plano bidimensional puede curvarse moviéndose o curvándose en la tercera dimensión. Matemáticamente “curvatura” es una operación muy básica. Básicamente está agregando una dimensión extra y matemáticamente no hay problema en “curvar” ningún espacio dimensional como, por ejemplo, el espacio 3D o el espacio-tiempo 4D.

En la relatividad general, siempre se habla de espacio-tiempo curvo. Esto me confunde un poco, debo admitirlo porque eso significaría que debe haber una quinta dimensión para “curvarse”. Puedo estar equivocado, pero creo que el espacio curvo sería el término correcto en el contexto de las teorías de la gravedad. Al menos, esa es la forma en que lo veo.

Sin entender más matemáticas, creo que es posible entender cómo el espacio curvo podría ser un buen modelo de cómo funciona la gravedad. Incluso si el espacio curvo no es algo que se pueda imaginar o incluso si el espacio curvo resultaría ser algo que no existe en absoluto.

Personalmente, preferiría el término inercia curva en lugar de espacio curvo, pero el resultado es el mismo. Una masa en movimiento en el espacio seguirá la curvatura del espacio si no hay fuerzas actuando sobre ella. Y lo que hace que el espacio sea “curva” es: la materia.

Creo que esto es lo más lejos que se puede llegar sin ninguna matemática seria. Vea las otras respuestas para saber qué tipo de matemáticas.

Los libros de texto sobre GR generalmente contienen una introducción matemática. Para comenzar, recomiendo el libro de Sean Carroll, está disponible en línea en arxiv.org. Hay un libro de Misner, Thorn, Wheeler: Gravitation. Es introductorio, pero muy detallado y se cubren muchos temas, por lo que es bueno cuando ya sabes algo. El libro canónico es Wald: Relatividad general, excelente y moderno, pero bastante difícil para un principiante. Por lo tanto, comience con Carroll y verá.

¿Hasta qué punto quieres realmente “entenderlo”? Si realmente desea obtener las matemáticas y poder hacer cálculos, vea algunas de las otras respuestas. Si realmente solo desea poder comprender los conceptos, especialmente las partes que son algo no intuitivas, hay TONELADAS de contenido de YouTube que puede consultar.

Aquí hay una breve introducción sobre el tema de Brian Greene, quien escribió The Fabric of the Cosmos y la miniserie NOVA TV con el mismo nombre.
La miniserie es bastante buena si eres un aficionado y quieres pasar cuatro horas en ella.

Para una discusión más a un ritmo un poco más rápido, aquí hay una serie de cinco videos sobre el tema de PBS Digital Studios:

¡Espero que esto pueda ayudarlo a comenzar!

En su mayoría, necesita conocer la geometría diferencial: colectores riemannianos, tensores, conexiones, curvatura, etc. Antes de aprender estos debe comprender realmente el álgebra lineal (incluidas las formas bilineales), el cálculo multivariable y algo de topología.

Fuera del contexto matemático puro, obviamente debe tener un excelente conocimiento de la mecánica clásica y la relatividad especial.

Este libro es una excelente guía de estudio para sus propósitos. Tendrás que aprender algo de matemáticas, pero el libro te lleva a través de él.

Una cosa muy incomprensible: notas hacia una introducción muy suave a las matemáticas de la relatividad: Peter Collier: 9780957389458: Amazon.com: Libros

Por mucho que Alon Amit sea un experto en matemáticas, pero no es un físico humilde. Entonces…

Debes conocer el cálculo multivariable. Debes conocer la relatividad especial. La relatividad especial a nivel introductorio solo requiere álgebra

Debes conocer los vectores y la multiplicación de matrices.

Un buen texto gr le presentará todas las demás matemáticas recurrentes. De hecho, debería ser principalmente matemática.

Phd Phys Sean Carroll también patea traseros, introduciendo la relatividad general de una manera conversacional . Mola mucho. Así que vaya a buscar su texto descargable en línea, “Notas de la conferencia sobre la relatividad general”.

Si está sobre tu cabeza, aprende relatividad especial y cálculo.