Buena pregunta, una con la que luché mucho como principiante. Inicialmente no estaba completamente claro para mí por qué diferenciar la función de onda está de alguna manera relacionada con el impulso.
Para responder a su pregunta, hay dos tipos de operadores útiles en mecánica cuántica: operadores de transformación y observables. Supongo que su pregunta es sobre esto último. Algo en la línea de por qué deberíamos llamar a este impulso del operador, o esta otra energía del operador.
En la mecánica cuántica ordinaria, los observables básicos son solo posición y momento.
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Todos los demás observables (como la energía o el momento angular) se construyen a partir de esto. Se considera que tienen las mismas funciones de posición e impulso que en la mecánica clásica. Esto asegura que estén de acuerdo con sus contrapartes clásicas en el límite clásico. Esa es una forma en que pueden ser ‘derivados’.
Por lo tanto, se trata de justificar el operador de impulso. Una forma de hacerlo es notar que a partir de la ecuación de Schrodinger se puede llegar a las ecuaciones de Ehrenfest que corresponden a las ecuaciones de Newton para sistemas clásicos. Entonces, definir el impulso de la forma en que lo hicimos nos devuelve las leyes clásicas en el límite correcto.
Más derivación axiomática / técnica sería insistir en la regla de conmutación para los operadores de posición y momento. Exigir esto define a los operadores. Esta demanda puede justificarse señalando que en el límite de la constante de Planck que va a 0, esto corresponde a una relación que es clásicamente verdadera.
Una derivación más limpia sería de las reglas de transformación. Esto es conceptualmente limpio, pero un poco técnico. La idea es que la mayoría de las variables importantes como el momento, la energía o el momento angular están conectadas a ciertas transformaciones: respectivamente traducciones en el espacio y el tiempo y rotaciones. Esto es cierto en la mecánica clásica. Al exigir la misma conexión para mantener la mecánica cuántica, podemos derivar los operadores cuánticos correspondientes.
Estas son algunas derivaciones / justificaciones que uno puede usar para definir observables sin referirse a los experimentos. Pero realmente, la mejor justificación de la teoría está en los experimentos. Como se supone que la mecánica clásica sigue lógicamente a la mecánica cuántica, uno no debería poder derivar la primera de la segunda. Hay operadores de mecánica cuántica como el spin que no tienen una contraparte clásica y solo pueden justificarse mediante mediciones.
Un comentario final sobre los observables en la mecánica cuántica que nunca se menciona en los textos. No es necesario que haya un experimento correspondiente a cada operador hermitiano (observable) que se pueda escribir. Por ejemplo, dentro del marco de QM, x ^ 3p + p ^ 3x es un ‘observable’ perfectamente válido cuyo valor de probabilidad / expectativa, etc. se puede calcular. Pero es muy probable que no haya forma de medir tal cantidad.
