Me gusta esta pregunta Tuve que refrescar mi memoria al hacerlo, ya que había pasado un tiempo.
Primero, encontremos cuál es la velocidad terminal [matemática] v_t [/ matemática]. Supongamos que la resistencia del aire es directamente proporcional a la velocidad para hacer que las ecuaciones sean solucionables. Usando la segunda ley de Newton, [math] ΣF = ma [/ math], y el hecho de que a la velocidad terminal no habrá aceleración se obtiene
[matemática] mg-bv_t [/ matemática] [matemática] = 0 [/ matemática],
- ¿La existencia de masa negativa haría posible un viaje más rápido que la luz?
- ¿Pueden los quarks realmente viajar más rápido que la luz?
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- ¿Cómo se calcula la velocidad a partir de un gráfico de aceleración?
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donde [math] b [/ math] es una constante de proporcionalidad que relaciona la velocidad con la fuerza de arrastre, [math] F_ {drag} = – bv [/ math] y [math] mg [/ math] es la fuerza gravitacional. Hemos encontrado que [math] v_t = \ frac {mg} {b} [/ math].
En cualquier momento, antes de alcanzar la velocidad terminal, la segunda ley de Newton dice
[matemáticas] ΣF = mg-bv = m \ dfrac {dv} {dt} [/ matemáticas],
usando el hecho de que la aceleración es igual a [matemáticas] \ frac {dv} {dt} [/ matemáticas].
Esta es una ecuación diferencial separable y tiene una solución
[matemáticas] v = v_t (1-e ^ {- bt / m}) [/ matemáticas].
En este modelo, se tarda infinitamente en alcanzar la velocidad terminal. Sin embargo, graficando la velocidad contra el tiempo, obtienes un gráfico que se parece a
.
La velocidad se acerca muy rápidamente a la velocidad terminal donde, a efectos prácticos, el objeto que cae ya no acelera. De la ecuación puede ver que cuánto tiempo se tarda en acercarse a [matemáticas] v_t [/ matemáticas] depende de [matemáticas] b [/ matemáticas] y [matemáticas] m [/ matemáticas].
Espero que esto ayude 🙂
