Mi primera respuesta descuidó la Relatividad General, principalmente porque me estaba divirtiendo haciendo los cálculos newtonianos. Mi amigo Marshall Eubanks me señaló que debería haberlos puesto, y esos cálculos también resultaron divertidos. Mi agradecimiento a Marshall por sus ideas y motivación.
Bueno … clásico, tenemos
[matemáticas] v = \ sqrt {\ frac {Gm} {r}} [/ matemáticas]
- ¿La velocidad de la luz depende de la velocidad del medio en el que viaja?
- Si viajas a la velocidad de la luz, ¿envejecerás?
- ¿Qué queremos decir con "La teoría especial de la relatividad muestra que la velocidad de la luz es el límite superior de las velocidades y que la masa y la energía están relacionadas"?
- ¿Por qué Einstein asumió que la velocidad máxima posible es la velocidad de la luz?
- ¿Es el tiempo una medida relativa en realidad?
Si estamos pensando en un cuerpo con densidad [matemática] \ rho [/ matemática], [matemática] \ rho = \ frac {m} {V} [/ matemática] y [matemática] V = \ frac {4 \ pi r ^ 3} {3}, \ rho = \ frac {3m} {4 \ pi r ^ 3}, m = \ frac {4 \ pi r ^ 3 \ rho} {3} [/ matemáticas]
Sustituyendo
[matemáticas] v = \ sqrt {\ frac {4 \ pi G r ^ 3 \ rho} {3r}} [/ matemáticas]
[matemáticas] v = \ sqrt {\ frac {4 \ pi G r ^ 2 \ rho} {3}} = rk \ sqrt {\ rho} [/ math]
Donde [matemáticas] k = \ sqrt {\ frac {4 \ pi G} {3}} \ aprox 1.67 \ veces 10 ^ {- 5} [/ matemáticas]
Estás arreglando [math] \ rho [/ math] y [math] v = 2.97 \ times 10 ^ 8 [/ math]
[matemáticas] r = \ frac {1.77 \ veces 10 ^ {13}} {\ sqrt {\ rho}} [/ matemáticas]
La densidad de la Tierra es [matemática] 5.52 \ veces 10 ^ 3 [/ matemática] kg / m [matemática] ^ 3 [/ matemática], entonces
[math] r = 2.3 \ times 10 ^ {11} [/ math] metros, aproximadamente 230 millones de kilómetros, o aproximadamente 1.55 AU – un poco más pequeño que la órbita de Marte.
El Sol es menos denso – aproximadamente [matemáticas] 1.41 \ veces 10 ^ 3 [/ matemáticas] kg / m [matemáticas] ^ 3 [/ matemáticas]. Como esto es lineal en [matemáticas] \ frac {1} {\ sqrt {\ rho}} [/ matemáticas], y el Sol tiene un poco más de 1/4 de densidad que la Tierra, el radio será un poco menor que el doble de lo que sería para la densidad de la Tierra. Júpiter es aún menos denso: [matemáticas] 1.33 \ veces 10 ^ 3 [/ matemáticas] kg / m [matemáticas] ^ 3 [/ matemáticas], por lo que el radio será un poco más del doble de lo que sería para la densidad de la Tierra . Siéntase libre de conectar los números y resolver el contenido de su corazón.
Anexo GR, inspirado en Marshall:
Vale la pena resolver la masa del objeto, [math] m [/ math]. [matemática] m = \ frac {4 \ pi \ rho r ^ 3} {3} \ aprox 4.19 \ rho r ^ 3 [/ matemática]. Usando nuestra expresión para [matemáticas] r = \ frac {1.77 \ veces 10 ^ {13}} {\ sqrt {\ rho}} [/ matemáticas], [matemáticas] m = \ frac {2.32 \ veces 10 ^ {40} } {\ sqrt {\ rho}} [/ math]
Si el cuerpo era tan denso como la Tierra, [math] \ sqrt {\ rho} = 74.3 [/ math], entonces [math] m = 3.122 \ times 10 ^ {38} [/ math] kg, o aproximadamente 300 millones masas solares Este es un objeto masivo; de hecho, su radio Schwarzschild [matemáticas] r_s [/ matemáticas] sería [matemáticas] \ frac {2Gm} {c ^ 2} = \ frac {1.33 \ veces 10 ^ {- 10} m} {9 \ veces 10 ^ {16}} = 1.48 \ por 10 ^ {- 27} m [/ matemáticas]. Al conectar el valor para [math] m [/ math] que acabamos de derivar, [math] r_s = 4.62 \ times 10 ^ {11} [/ math] metros, aproximadamente el doble del radio orbital: la órbita estaría dentro de un negro agujero. Entonces debemos usar la relatividad general, y ver que la órbita del fotón es
[matemática] \ frac {3 r_s} {2} = 6.93 \ veces 10 ^ {11} [/ matemática] metros.
Para un cuerpo masivo, la órbita circular más estable alrededor de un agujero negro es [math] 3 r_s = 1.39 \ times 10 ^ {12} [/ math] metros para un agujero negro de la densidad de la Tierra.
