¿Cuál es una explicación intuitiva de la ley de Planck de la radiación del cuerpo negro?

Un cuerpo negro es un cuerpo que emite radiación en todas las frecuencias. Usando el lenguaje matemático de la mecánica clásica, se descubrió que la energía de la radiación era directamente proporcional a la frecuencia de la misma, por lo que para frecuencias enormes obtuvimos una gran energía de radiación. Pero, si ese fuera el caso, ¡entonces el mundo nunca se habría formado! ¡Esto se llamó la catástrofe ultravioleta!

¿La solución? Planck intentó durante meses encontrar la ecuación que se ajustara a los datos del espectro de radiación. No utilizó ninguna matemática elegante ni ideas nuevas y geniales; él solo aplicó algunas técnicas de ajuste de curvas. Cuando finalmente obtuvo su fórmula, se metió en el negocio real (¡para un teórico de todos modos!): Derivarlo .

Después de la prueba y el error, vio que la única forma de derivar la fórmula obtenida mediante el ajuste de la curva era postular que la energía se emitía en paquetes cuantificados: E = hf, donde f es la frecuencia de la radiación emitida yh es la constante de Planck (porque Planck lo calculó a través del proceso de ajuste de curvas y lo usó para su postulado).

Este fue un postulado innovador ya que no solo proporcionó la única forma de derivar la fórmula que describía el espectro de radiación correcto, sino que inició una nueva era de la física: ¡fue la introducción a la mecánica cuántica!

[Por supuesto, el efecto fotoeléctrico de Einstein dio el golpe final a la mecánica clásica y convenció a todos de que el postulado de Planck era tan correcto como loco en ese momento (y ahora si lo piensas)]

¡Lo realmente importante aquí es que la energía viene en paquetes cuantificados! ¡Solo puede tener valores específicos!

Además, la constante de Planck se considera una constante fundamental. Esto solo nos dice que la computación de Plack era importante incluso por sí sola.

Lo que estamos tratando de explicar intuitivamente es la ley:

[matemáticas] I = \ frac {2h \ nu ^ 3} {c ^ 2} \ frac {1} {e ^ {\ frac {h \ nu} {kT}} -1} [/ matemáticas]

Podemos escribir esto un poco más sugerente como:

[matemáticas] I = h \ nu \ frac {2 \ nu ^ 2} {c ^ 2} \ frac {1} {e ^ {\ frac {h \ nu} {kT}} -1} [/ matemáticas]

La explicación intuitiva es la siguiente:

El factor de [math] h \ nu [/ math] es solo la energía de un fotón, y el resto es el número de fotones que viajan a través de un área unitaria por unidad de tiempo. El producto de los dos, naturalmente, proporciona la cantidad de energía que viaja a través de un área unitaria por unidad de tiempo.

El factor con la frecuencia al cuadrado surge de la densidad de estados: el número de posibles estados de fotones por unidad de frecuencia. Recuerde que la forma de usar esta función es integrarla (“sumarla”) en algún rango de frecuencias. Por lo tanto, lo que este factor nos dice es que, a frecuencias más altas, un intervalo de frecuencia de la misma longitud contiene más posibles estados de fotones. (Explicaré por qué al final, es un poco técnico)

El bit con el exponencial es el factor de ocupación para los bosones: el número esperado de fotones que ocupan cada estado permitido. Por lo tanto, cuando multiplica esto por el número de estados de fotones permitidos, obtiene el número total de fotones. Puede ver a partir de este factor que los estados de mayor energía tienden a tener menos fotones en ellos (más o menos, la forma exacta en que esto sucede explica la falta de una catástrofe ultravioleta), y a temperaturas más altas tienden a haber más fotones en cada estado .

(Técnicamente, lo que he descrito sería la densidad de energía , no la intensidad, pero solo difiere en un factor de [matemáticas] \ frac {4 \ pi} {c} [/ matemáticas] o algo así).

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Para ver la dependencia al cuadrado de la frecuencia de la densidad de estados, imagine la radiación del cuerpo negro en una cavidad cúbica de longitud lateral [matemática] L [/ matemática]. Los estados permitidos son aquellas ondas estacionarias que mueren en el límite, es decir, [matemáticas] L = \ frac {n \ lambda} {2} = \ frac {nc} {2 \ nu} [/ matemáticas] para algún número entero [matemáticas] n [/ matemáticas]. Por lo tanto, en una dimensión, el número de estados permitidos en el rango de frecuencia entre [matemática] 0 [/ matemática] y [matemática] \ nu [/ matemática] es proporcional a [matemática] \ nu [/ matemática]. Por lo tanto, es intuitivo que en el caso tridimensional, el número de estados entre [matemática] 0 [/ matemática] y [matemática] \ nu [/ matemática] se escala como [matemática] \ nu ^ 3 [/ matemática]. La densidad de estados es solo el número de estados por unidad de intervalo de frecuencia, es decir, diferenciamos con respecto a la frecuencia. De ahí la dependencia [matemática] \ nu ^ 2 [/ matemática] de la densidad de estados.

Supongo que también debería aclarar para el registro que el factor de ocupación bosónico no siempre se parece a esto: el potencial químico también aparece en el exponencial, simplemente sucede que siempre es cero para los fotones.

La catástrofe ultravioleta fue el enigma muy desconcertante sobre las olas. La energía en una onda tiene que ser alguna función de la frecuencia. Y, obviamente, la frecuencia cero tiene que ser el punto de energía cero. Entonces la energía tiene que subir con frecuencia. Entonces, los físicos no podían entender por qué un cuerpo caliente no seguía emitiendo más y más a medida que aumentaba la frecuencia. Una cosa tan simple como un filamento caliente y no había explica. Planck recurre al extraño modelo de osciladores cuantificados, y la ecuación que se eliminó de eso coincidía exactamente con lo que vemos en la vida real en los objetos calientes. Entonces tenía un modelo que funcionaba pero era absurdo, con osciladores que solo podían alcanzar ciertas energías. Ese fue el comienzo de la rareza cuántica.

Acabo de terminar de escribir la respuesta de Jess H. Brewer a ¿Por qué la radiación del cuerpo negro es una distribución continua de energías de fotones en lugar de una distribución discreta en un conjunto de cuantos de energía exactos? Por favor mira eso.