¿Cuál es la relación entre el principio de exclusión de Pauli y el principio de incertidumbre de Heisenberg?

Directamente, realmente no hay uno. Tienen nombres similares, pero gobiernan diferentes aspectos de la teoría cuántica. Lo más notable: el HUP se aplica a toda la materia (TODA la materia, incluso la materia a escala macro, aunque las incertidumbres son tan pequeñas que es difícil de observar en algo más grande que un átomo), todo por sí mismo, mientras que el Principio de Exclusión de Pauli se aplica solo a un particular tipo de partícula (fermiones) cuando interactúan entre sí (es decir, dentro de los átomos, o entre átomos muy separados).

Matemáticamente, los dos están vinculados por la ecuación de onda de Schroedinger (o más específicamente, la versión relativista de la misma llamada ecuación de Dirac). El principio de exclusión de Pauli es una consecuencia de los estados de onda antisimétricos (p. Ej., Entre dos electrones), y el principio de incertidumbre de Heisenberg es la consecuencia de resultados no conmutativos entre dos operadores dentro de la ecuación de onda (momento y posición). La matemática está en la misma línea, pero completamente diferente en los detalles.

En qm, cada sistema se describe mediante una función de onda. El módulo al cuadrado de esta función de onda da la densidad de probabilidad de encontrar una partícula en una posición particular.

Suponga que ψ1 (x1) es la función de onda de alguna partícula denotada por 1. Tenga en cuenta que x1 es la ubicación de la partícula. Ahora introduzcamos alguna otra partícula en el estado ψ2 (x2). ¿Cuál es el estado combinado del sistema?

Si las partículas son distinguibles, el estado combinado se da simplemente por ψ1 (x1) ψ2 (x2). Claramente, si intercambiamos las partículas, es decir, x1 ↔ x2, el estado del sistema cambiaría. El nuevo estado será ψ1 (x2) ψ2 (x1). Tenga en cuenta que la probabilidad de encontrar la partícula 1 en algún lugar x1 y la partícula 2 en algún lugar x2 también cambiaría. Pero está bien porque las partículas eran distinguibles, por lo que intercambiarlas debería cambiar la situación.

¿Qué pasa si las partículas son indistinguibles? Ahora la densidad de probabilidad no debería cambiar. Esto puede suceder solo si consideramos que el estado combinado es 1 de los siguientes.

Función de onda simétrica:
ΨS (x1, x2) = 1/2 (ψ1 (x1) ψ2 (x2) + ψ1 (x2) ψ2 (x1))
Función de onda antisimétrica:
ΨA (x1, x2) = 1/2 (ψ1 (x1) ψ2 (x2) – ψ1 (x2) ψ2 (x1))

Comprueba tú mismo que, de hecho, el cuadrado de los 2 estados anteriores no cambia en el intercambio de partículas.

Los bosones son una clase de partículas que tienen funciones de onda simétricas, mientras que los fermiones (los electrones son fermiones) tienen antisimétricos.

Ahora considere una situación en la que ambas partículas están en el mismo estado. El estado simétrico se convierte en ψ1 (x2) ψ1 (x1). ¡El estado antisimétrico se convierte en cero! Esto significa que no 2 fermiones pueden estar exactamente en el mismo estado. Este es el significado del Principio de exclusión de Pauli.

Esto es totalmente diferente del principio de incertidumbre, que destaca la “incapacidad fundamental” para medir 2 observables “incompatibles” simultáneamente.

Espero que esto ayude.