Las matemáticas aquí son un poco complicadas. La respuesta corta es: 0 o indefinido.
El volumen parece ser la medida correcta. La singularidad está en un valor fijo de [matemáticas] r [/ matemáticas] y varía en [matemáticas] t, \ theta, \ phi [/ matemáticas]. El volumen se puede definir covariablemente al considerar un múltiple tridimensional [matemática] R [/ matemática] sobre la cual integrar y formar el vector normal de longitud unitaria [matemática] \ zeta ^ \ alfa [/ matemática] utilizando la métrica de 4 dimensiones; luego formando el elemento de volumen inducido a partir del elemento de volumen natural mediante la contratación, [matemática] \ hat {\ epsilon} _ {\ mu \ nu \ rho} = \ epsilon _ {\ mu \ nu \ rho \ sigma} \ zeta ^ \ sigma [/matemáticas]. El volumen es entonces
[matemáticas] V = \ int_ {R} \ hat {\ epsilon} = \ int_ {R} \ hat {\ epsilon} _ {\ mu \ nu \ rho} dx ^ {(1) \ mu} dx ^ {( 2) \ nu} dx ^ {(3) \ rho} [/ math]
[matemáticas] \ quad = \ int_ {R} \ tilde {\ epsilon} _ {\ mu \ nu \ rho \ sigma} \ zeta ^ \ sigma \ sqrt {-g} dx ^ {(1) \ mu} dx ^ {(2) \ nu} dx ^ {(3) \ rho}, [/ math]
Donde [math] \ tilde {\ epsilon} [/ math] es el símbolo de Levi-Civita (no tensor) y [math] g [/ math] es el determinante de la métrica.
Para tener cuidado con la singularidad en [math] r = 0 [/ math], uno debe tratar la región [math] R [/ math] como el límite de las regiones con [math] r \ a 0 [/ math]. Pero tenga en cuenta que esta región se extiende en el tiempo desde [matemáticas] – \ infty <t <\ infty [/ matemáticas], que también debe tratarse como un límite. En el espacio-tiempo de Schwarzschild, el determinante métrico es [math] g = -r ^ 4 \ sin ^ 2 \ theta [/ math]. Entonces el integrando va a cero como [math] r \ a 0 [/ math] pero la región de integración crece a medida que el dominio del tiempo se extiende hacia el infinito.
Este tipo de integral se puede forzar para que tome el valor que desee al tomar los dos límites a las velocidades apropiadas. Es indefinido
- ¿Existe una explicación laica, en términos de relatividad general, a la paradoja de los gemelos Einstein?
- ¿Cómo puede el principio de equivalencia conducir a la idea de Einstein de que la gravedad es la curvatura del espacio-tiempo?
- ¿Por qué sentimos el peso en una curva espacio-tiempo pero no en un espacio simple (quiero decir, recto) sin curvatura como en el espacio de gravedad cero?
- ¿Cómo demostró Einstein la teoría especial de la contracción de la longitud de la relatividad (parte)?
- Relatividad especial: si A ve que el reloj de B lee 8 mientras que lee 11, B estará de acuerdo. ¿Cómo es esto cierto si se ven envejeciendo más lentamente que ellos?
En cambio, tratemos de encontrar el “área de superficie” de la singularidad en un momento dado: el espacio es el mismo en todo momento. En este caso, uno procede como anteriormente pero introduce otro normal [matemática] \ xi ^ \ alpha [/ matemática] que es ortogonal a las superficies de [matemática] t [/ matemática]. Entonces uno encontrará que el área en algún radio de coordenadas [matemática] r [/ matemática] es [matemática] A = 4 \ pi r ^ 2 [/ matemática]. Esto es por construcción: la coordenada [matemática] r [/ matemática] se denomina “radio areal”. El límite del área de superficie está bien definido, ya que solo hay un límite que tomar. El “área” es 0.
En este punto, un matemático debería comentar sobre esto. Esto sugiere que la región sobre la que se está integrando es de medida cero en múltiples colectores bidimensionales, por lo que en realidad no es una región bidimensional, sino una línea o un punto. No sé si esto es cierto.
