No, porque no siempre es así. En el espacio de funciones continuas, con soporte compacto en la línea real (por ejemplo), el operador [math] f (x) -> xf (x) [/ math] es hermitiano pero no tiene funciones propias. Si desea un ejemplo con operadores en un espacio de Hilbert, piense en el operador análogo en funciones integrables cuadradas en [matemática] [- 1,1] [/ matemática] (funciones de módulo compatibles con un conjunto de medida cero, para ser técnico )
Estos ejemplos sufren al tener “espectro continuo”. Todos los valores en [math] [- 1,1] [/ math] actúan como si fueran valores propios, pero no del todo. Si el operador es [math] A [/ math], un vector propio es un elemento [math] v [/ math] del espacio tal que [math] (A- \ lambda I) v = 0 [/ math] donde [ math] \ lambda [/ math] es el valor propio y [math] I [/ math] es el operador de identidad. En un espacio de dimensión finita que [math] A- \ lambda I [/ math] envía algunos vectores a 0 es equivalente a que no tenga un inverso. En un espacio de dimensiones infinitas como un espacio típico de funciones, es posible tener un operador que no envíe nada a 0, pero que tampoco tenga inversa. Si [math] A- \ lambda I [/ math] no tiene inverso, entonces se dice que [math] \ lambda [/ math] es parte del espectro de [math] A [/ math]. (Ver Spectrum (análisis funcional) – Wikipedia.) En nuestro ejemplo, hay funciones integrables al cuadrado que son casi enviadas a cero por [math] A- \ lambda I [/ math] donde [math] \ lambda [/ math] está en [math] [- 1,1] [/ math], por ejemplo, las funciones que son cero excepto muy cerca de [math] \ lambda [/ math]. Esas funciones están cerca de ser funciones propias.
Para las aplicaciones en física, las personas a veces han pasado por alto el tema de forma algo leve. Parte de la diversión de usar las funciones delta de Dirac era proceder como si tuviera funciones propias para algunos operadores, aunque todo lo que realmente tiene son aproximaciones a eso. Entonces puede continuar fingiendo que son una base para el espacio de funciones. En un sentido vago, uno se encuentra en una situación aproximadamente como tener una base de funciones propias. Hay formas de hacer argumentos como este riguroso cuando tienen sentido.
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El teorema espectral (Teorema espectral – Wikipedia) es una de las formas en que se puede mostrar que un operador autoadjunto se “parece” a un operador con un conjunto completo de vectores propios.
