Trataré de describir en detalle cómo funciona la gravitación y cómo funciona la aceleración y por qué los dos fenómenos diferentes son realmente equivalentes. En particular, ambos fenómenos son el resultado del hecho de que los relojes a diferentes alturas en un campo gravitacional o en un ascensor acelerador funcionan a diferentes velocidades.
La dilatación del tiempo gravitacional es bien conocida, el hecho de que también haya dilatación del tiempo en marcos de referencia de aceleración no es tan conocido. Aquí se demuestra que un marco de referencia acelerado tiene espacio-tiempo curvo.
Gravitación
- En esta sección, el objetivo es demostrar que en los campos gravitacionales débiles, la mayor parte del efecto de la gravedad al causar caminos curvos se debe al efecto de dilatación del tiempo gravitacional:
Según la relatividad general, la masa y la energía de los objetos materiales hace que el espacio-tiempo en las proximidades del objeto sea curvado. Es esta curvatura del espacio-tiempo la que causa todos los efectos de la gravitación. Entonces, un objeto no afecta directamente a otro objeto. En cambio, un objeto hace que el espacio-tiempo sea curvo y el espacio-tiempo curvo es lo que afecta a otro objeto.
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Si no hay espacio-tiempo curvo, los objetos viajarán en línea recta. La definición de una línea recta es que una línea recta es la distancia más corta entre dos puntos. El término que se usa para describir líneas rectas en espacios curvos es geodésico, por lo que una geodésica es la “distancia” más corta entre dos puntos. La relatividad general dice que en el espacio-tiempo curvo de cuatro dimensiones los objetos todavía viajan en geodésicas (“líneas rectas”), pero una geodésica en el espacio-tiempo de cuatro dimensiones curvo puede verse como una línea curva en un espacio tridimensional. La razón de esta diferencia es que la mayor parte de la curvatura del espacio-tiempo está en la dirección del tiempo (al menos para campos muy débiles y para velocidades mucho menores que la velocidad de la luz).
El campo de gravedad de la tierra es, en primer lugar, una aproximación a un campo de gravedad uniforme y constante si hablamos de distancias verticales relativamente pequeñas. Por ejemplo, la diferencia en las aceleraciones diferirá en solo 3 partes en un millón para dos objetos que están separados 10 metros verticalmente cerca de la superficie de la tierra (ver G * (masa de la tierra) (1 / (radio de la tierra) ^ 2 …) Entonces, la curvatura del espacio-tiempo es (principalmente) que la velocidad del flujo del tiempo es una función de la distancia sobre la superficie.
Si arrojas una pelota desde la superficie de la tierra, se desacelera a medida que se eleva; deja de subir y luego acelera a medida que cae a la tierra. Por otro lado, cuando la pelota descansa sobre la superficie de la tierra, la fuerza que experimenta la pelota es realmente la fuerza causada por el material de la tierra que empuja la pelota. Se está ejerciendo esa fuerza sobre la pelota para evitar que tome el camino geodésico que la pelota tomaría para continuar cayendo a través de la tierra. Entonces, el cuerpo de la tierra realmente está ejerciendo la fuerza para obligarlo a tomar un camino no geodésico.
- Matemáticamente:
La forma en que se miden las distancias en el espacio tridimensional es solo el teorema de Pitágoras para 3 dimensiones:
[matemáticas] dL ^ 2 = dx ^ 2 + dy ^ 2 + dz ^ 2 [/ matemáticas]
dónde
[matemáticas] dx, dy, dz = [/ matemáticas] las distancias en el espacio tridimensional
a lo largo de los ejes [matemática] x, y [/ matemática] o [matemática] z [/ matemática]
[matemáticas] dL = [/ matemáticas] la distancia en 3 dimensiones
En la relatividad especial para el espacio-tiempo plano de 4 dimensiones, la distancia equivalente (o tiempo apropiado) viene dada por la ecuación métrica:
[matemáticas] d \ tau ^ 2 = dt ^ 2 – (dx ^ 2 + dy ^ 2 + dz ^ 2) / c ^ 2 [/ matemáticas]
dónde:
[matemáticas] c = [/ matemáticas] la velocidad de la luz en el vacío
[math] d \ tau = [/ math] es el intervalo de tiempo apropiado o, en otras palabras, la “longitud” de la
camino en el espacio-tiempo curvo o plano que se minimiza
por estar en la geodésica
[matemáticas] dt = [/ matemáticas] el intervalo de tiempo en la 4ta dimensión del tiempo
En relatividad general, para una distribución de masa o energía esféricamente simétrica, no giratoria (sin carga), la ecuación métrica que es válida para todos los puntos que están fuera del objeto es:
[matemáticas] d \ tau ^ 2 = (1-r_s / r)) dt ^ 2 – \ frac {(dx ^ 2 + dy ^ 2 + dz ^ 2)} {c ^ 2 (1-r_s / r)) }[/matemáticas]
dónde:
[matemática] r = [/ matemática] es la distancia espacial radial desde el centro de la masa hasta el punto [matemática] x, y, z [/ matemática]
[matemáticas] G = [/ matemáticas] Constante gravitacional newtoniana
[matemática] M = [/ matemática] masa del objeto (que eventualmente tomaremos como la Tierra)
[matemáticas] r_s = 2GM / c ^ 2 [/ matemáticas] es el radio de Schwarschild
– para la Tierra esto es 8.8 milímetros (2 * G * Masa de la tierra / c ^ 2)
Esta es la métrica de Schwarzschild y es exactamente correcta y válida para los agujeros negros, o para cualquier región fuera de los objetos esféricamente simétricos. Tenga en cuenta que si toda la masa de la Tierra se comprimiera en una esfera de radio 8.8 mm, ¡se convertiría en un agujero negro!
A partir de este momento, me especializaré en el caso de un planeta (pequeño) como la Tierra y consideraré los casos en los que estamos restringidos a estar cerca de la superficie donde la gravedad es débil y aproximadamente constante: Entonces estableceremos [math] r = R + h [/ math] donde:
[matemáticas] R = [/ matemáticas] el radio de la tierra (6367 km)
[matemática] h = [/ matemática] la distancia desde la superficie de la tierra hasta el punto [matemática] x, y, z [/ matemática]
y se supone que [matemáticas] h / R << 1 [/ matemáticas].
[matemáticas] g = [/ matemáticas] la aceleración gravitacional en la superficie de la tierra que
está dado por [matemáticas] g = GM / R ^ 2 [/ matemáticas]
Para simular un campo gravitatorio uniforme débil como el campo cerca de la superficie de la Tierra, haremos lo siguiente:
- solo mantenga los términos de primer orden en [matemáticas] h / R [/ matemáticas].
- suponga que todas las velocidades son mucho menores que la velocidad de la luz, lo que significa que [matemáticas] dx / dt << c [/ matemáticas] y
- el campo gravitacional es débil ([matemática] R >> r_s [/ matemática] (para la Tierra esto se cumple desde 6367 km >> 8.8 mm).
Así que ignoraremos el factor [math] (1-r_s / r) [/ math] en el denominador del término [math] (dx ^ 2 + dy ^ 2 + dz ^ 2) [/ math] ya que asumimos [ math] dx / dt << c [/ math] y, por lo tanto, ese factor será aproximadamente igual a 1 y tendrá un efecto insignificante en comparación con el factor [math] (1-r_s / r) [/ math] que multiplica dt. También aproximamos:
[matemáticas] 1-r_s / (R + h) = 1- (r_s / R) / (1 + h / R) [/ matemáticas]
[matemáticas] \ aprox 1- (r_s / R) (1-h / R +…) \ aprox 1 + h r_s / R ^ 2 [/ matemáticas]
donde asumimos [matemática] 1 + r_s / R \ aprox 1 [/ matemática] ya que esto es constante y solo cambia el tiempo total del reloj en la superficie de la tierra por una constante que es casi 1.
Con estas aproximaciones, la métrica es:
[matemáticas] d \ tau ^ 2 = (1+ \ frac {h r_s} {R ^ 2}) dt ^ 2 – [/ matemáticas] [matemáticas] (dx ^ 2 + dy ^ 2 + dz ^ 2) / c ^ 2 [/ matemáticas]
o desde [matemáticas] r_s / R ^ 2 = 2g / c ^ 2 [/ matemáticas]
[matemáticas] d \ tau ^ 2 = (1+ \ frac {2h g} {c ^ 2}) dt ^ 2 – [/ matemáticas] [matemáticas] (dx ^ 2 + dy ^ 2 + dz ^ 2) / c ^ 2 [/ matemáticas]
Entonces, esta ecuación resalta el desplazamiento al rojo gravitacional o el efecto de dilatación del tiempo. Un reloj que está parado en un campo gravitacional está midiendo [math] d \ tau [/ math] la hora adecuada para ese reloj. [Math] dt [/ math] es el tiempo de coordenadas que sería el mismo para todos los relojes (que también se aplica a [math] dx, dy, dz [/ math] ‘s, son las distancias de coordenadas). Para relojes en ubicaciones fijas a una altura [matemática] h [/ matemática] sobre la superficie de la tierra, el tiempo apropiado medido por el reloj, [matemática] d \ tau [/ matemática], será:
[matemáticas] d \ tau = \ sqrt {1+ \ frac {2h g} {c ^ 2}} dt [/ matemáticas]
[matemáticas] \ aprox (1+ \ frac {hg} {c ^ 2}) dt [/ matemáticas]
Para dos relojes en ubicaciones fijas a varias alturas [matemática] h_0 [/ matemática] y [matemática] h_1 [/ matemática] sobre la superficie de la tierra, la diferencia fraccional de tiempo adecuada será:
[matemáticas] \ frac {d \ tau (h_0) – d \ tau (h_1)} {dt} = \ frac {(h_0-h_1) g} {c ^ 2} [/ matemáticas]
Esta dilatación del tiempo gravitacional está bien medida y, por ejemplo, es necesaria para que el sistema GPS funcione: la corrección de los relojes en los satélites en órbita en comparación con los relojes en la superficie de la tierra es fundamental para el correcto funcionamiento. En la reunión de APS de abril de 2013, escuché sobre un experimento con un reloj atómico que podía medir el tiempo con una precisión de 1 parte en [matemática] 10 ^ {18} [/ matemática] y pudieron medir la dilatación del tiempo al aumentar su tiempo reloj atómico de 33 cm (que da un efecto de tamaño [matemático] 3 \ veces 10 ^ {- 17} [/ matemático] – ver 33 cm * aceleración de la gravedad / c ^ 2)
- ¿Cómo la dilatación del tiempo gravitacional hace que los objetos caigan?
Primero, consideremos el caso plano espacio-tiempo. La métrica es:
[matemáticas] d \ tau ^ 2 = dt ^ 2 – (dx ^ 2 + dy ^ 2 + dz ^ 2) / c ^ 2 [/ matemáticas]
Calculamos (donde [math] v [/ math] es la velocidad):
[matemáticas] \ frac {d \ tau} {dt} = \ sqrt {1 – \ frac {v ^ 2} {c ^ 2}} \ equiv \ frac {1} {\ gamma} [/ math]
Ahora en el espacio-tiempo plano, los objetos viajarán a velocidad constante. Por lo tanto, [math] \ frac {d \ tau} {dt} [/ math] será constante y esta constante es, de hecho, el factor de dilatación del tiempo relativista debido al movimiento relativo ([math] 1 / \ gamma [/ math] ) El reloj del objeto medirá [matemática] d \ tau [/ matemática] mientras que el reloj en el marco de descanso de las coordenadas [matemática] (t, x, y, z) [/ matemática] medirá [matemática] dt [ /matemáticas].
Como [math] \ frac {d \ tau} {dt} [/ math] es una constante:
[matemáticas] \ frac {d ^ 2 \ tau} {dt ^ 2} = 0 [/ matemáticas]
Ahora, consideremos una partícula que está en reposo en el laboratorio en el campo gravitacional débil de la Tierra. Suponga que está a una altura [matemática] h = 0 [/ matemática] en [matemática] t = 0 [/ matemática] y suponga que la dirección [matemática] z [/ matemática] es vertical en el laboratorio (por lo tanto, [matemática] ] h = z [/ math] y [math] dh = dz [/ math]) y supongamos que siempre tenemos [math] dx = dy = 0 [/ math]. Entonces la métrica es:
[matemáticas] d \ tau ^ 2 = (1+ \ frac {2h g} {c ^ 2}) dt ^ 2 – [/ matemáticas] [matemáticas] dh ^ 2 / c ^ 2 [/ matemáticas]
Calculamos:
[matemáticas] \ frac {d \ tau} {dt} = \ sqrt {1+ \ frac {2h g – (dh / dt) ^ 2} {c ^ 2}} [/ matemáticas]
y por lo tanto:
[matemáticas] \ frac {d ^ 2 \ tau} {dt ^ 2} = \ frac {2g (dh / dt) – 2 (dh / dt) (d ^ 2h / dt ^ 2)} {2c ^ 2 \ sqrt {1+ (2h g – (dh / dt) ^ 2) / c ^ 2}} [/ matemáticas]
Si [matemáticas] \ frac {d ^ 2 \ tau} {dt ^ 2} = 0 [/ matemáticas] entonces:
[matemática] 2g (dh / dt) – 2 (dh / dt) (d ^ 2h / dt ^ 2) = 0 [/ matemática]
y por lo tanto:
[matemáticas] \ frac {d ^ 2h} {dt ^ 2} = g [/ matemáticas]
Por lo tanto, hemos derivado la ecuación de movimiento newtoniana para una partícula en un campo gravitacional uniforme y puede ver que el efecto de aceleración gravitacional newtoniana se debe a la dilatación del tiempo gravitacional relativista general en campos gravitacionales débiles para partículas lentas ([matemáticas] v << c [/ matemáticas])!
En palabras, lo que sucede es esto: para minimizar el tiempo apropiado para una partícula, ” quiere ” estar más abajo en el campo gravitacional donde el reloj de tiempo apropiado corre más lento, por lo que su longitud total de “trayectoria” en el espacio-tiempo curvo será corto. Sin embargo, debe moverse en una dirección espacial para bajar, pero eso es un efecto menor ya que las distancias espaciales se dividen entre [matemáticas] c ^ 2 [/ matemáticas], que es un número grande y tiene un efecto pequeño en la longitud de la “ruta” .
Aceleración
- En esta sección explicaré cómo funcionan los marcos de referencia acelerados en la relatividad y cómo, de nuevo, ¡existe una dilatación del tiempo equivalente debido a la aceleración que es exactamente equivalente a la gravitación!
En primer lugar, la noción newtoniana de aceleración constante no puede aplicarse en un universo relativista. Según Newton, la distancia ([matemática] s [/ matemática]) y la velocidad ([matemática] v [/ matemática]) están relacionadas con la aceleración ([matemática] a [/ matemática]) y el tiempo ([matemática] t [/ math]) por:
[matemáticas] s = \ frac {1} {2} en ^ 2 [/ matemáticas]
[matemáticas] v = en [/ matemáticas]
Entonces, según Newton, si aceleramos a una “[matemática] g [/ matemática]” (la aceleración debida a la gravedad en la superficie de la Tierra), en menos de 1 año, estaremos yendo más rápido que la velocidad de la luz. Teniendo en cuenta la relatividad, acelerar a 1 g dará como resultado una velocidad de 0.77 c en aproximadamente 1.2 años medido en la Tierra (y 1 año medido en la nave espacial) (ver El cohete relativista).
Entonces, en la relatividad, en lugar de decir que tenemos una aceleración constante, decimos que tenemos una aceleración uniforme. Eso se lograría si, por ejemplo, usáramos un motor de cohete para dar 1 g de aceleración a una nave espacial. Asumiremos que comienza en t = 0 en el marco de descanso de nuestro laboratorio (en el espacio lejos de cualquier fuente de gravedad) y que luego continúa acelerando 1 g para siempre (o al menos un tiempo muy largo. De ahora en adelante, en lugar de hablando de una nave espacial, lo llamaré un elevador donde el piso del elevador se sentirá como la superficie de la Tierra
En un cuadro que está en aceleración uniforme, las rutas que toma un objeto de prueba se determinan de manera directa por la forma en que funciona la aceleración. Por ejemplo, en nuestro elevador que acelera a 1 g, si alguien en el elevador lanza una pelota hacia arriba, la pelota comienza con la velocidad actual (en ese momento) del elevador más la velocidad con la que se lanzó hacia arriba en relación con el elevador. Si estamos fuera del elevador viajando a una velocidad constante igual a la velocidad del elevador cuando se lanzó la pelota y estamos viendo el lanzamiento de la pelota, entonces diríamos que la pelota continúa viajando en línea recta a una velocidad constante que concuerda con relatividad general para un camino “geodésico” en un espacio-tiempo plano. Entonces, para un observador fuera del elevador en un marco de referencia inercial, el espacio-tiempo no es curvo.
Para el observador externo, la pelota comienza a subir y a alejarse del piso del elevador. Sin embargo, el elevador está acelerando, por lo que finalmente alcanza la misma velocidad que la pelota, por lo que en ese punto la distancia entre la pelota y el piso es momentáneamente constante. Finalmente, el elevador continúa acelerando hacia arriba, por lo que ahora va más rápido que la pelota, por lo que la pelota finalmente golpeará el piso del elevador cuando el elevador lo alcance.
Para el observador en el elevador que está acelerando, la pelota sube, se detiene y baja y golpea el piso del elevador, exactamente como se vería en un campo de gravedad constante. Matemáticamente se puede demostrar que el observador en el elevador realmente está experimentando un espacio-tiempo curvo. Eso ciertamente no es obvio, pero es cierto. En otras palabras, el observador acelerador tiene exactamente la misma experiencia de estar en un espacio-tiempo curvo que experimentaría un observador en un campo gravitatorio uniforme. Matemáticamente, los tensores métricos que describen ambas situaciones son idénticos.
- Las matemáticas:
Ahora entraré en algunas ecuaciones que espero aclaren todo esto. El detalle completo de la derivación de estas ecuaciones se muestra en este PDF sobre Aceleración uniforme: las ecuaciones y las imágenes que se muestran a continuación provienen de este PDF. Entonces, no estoy mostrando la derivación, solo los resultados.
La figura que muestra lo que estamos considerando es:
En esta figura, el eje horizontal es el eje espacial ([matemático] x [/ matemático]) del laboratorio. El eje vertical es el eje de tiempo ([matemática] t [/ matemática]) del laboratorio. La parte inferior del elevador es la curva apuntada por “abajo” y la parte superior del elevador está apuntada por “arriba”. La línea recta diagonal es el camino que tomarían los fotones de luz si atraviesan [matemática] x = 0, t = 0 [/ matemática] (conos de luz).
Asumiremos que la parte inferior del elevador tiene una aceleración uniforme [matemática] a_b [/ matemática] y que el tiempo apropiado medido por un reloj en la parte inferior del elevador mide [matemática] \ tau_b [/ matemática]. No es del todo obvio, pero es cierto que la parte superior del elevador, aunque está rígidamente unida al fondo, tiene una aceleración diferente [matemática] a_t [/ matemática] y tendrá un tiempo propio diferente, medido por un reloj en la parte superior de [math] \ tau_t [/ math].
Mostraremos sin derivación las ecuaciones que describen la trayectoria de la parte inferior del elevador en el marco del laboratorio en función del tiempo apropiado [matemática] \ tau_b [/ matemática] de un reloj en la parte inferior del elevador y las ecuaciones similares. Para la parte superior del ascensor. Para la derivación ver el PDF. especialmente la sección “6.4.2 Cohete Acelerado”. La altura del elevador medida en el laboratorio cuando el elevador está momentáneamente en reposo en t = 0 será [matemática] h [/ matemática]. Sea x_b y t_b las coordenadas de laboratorio de la parte inferior del elevador y x_t y t_t las coordenadas de la parte superior del elevador:
Defina [matemáticas] d = c ^ 2 / a_b [/ matemáticas] entonces:
[matemáticas] x_b = d \ veces \ cosh {(c \ tau / d)} [/ matemáticas]
[matemáticas] t_b = d \ veces \ sinh {(c \ tau / d)} [/ matemáticas]
[matemáticas] x_t = (d + h) \ veces \ cosh {(c \ tau / (d + h))} / a_b [/ matemáticas]
[matemáticas] t_t = (d + h) \ veces \ sinh {(c \ tau / (d + h))} / a_b [/ matemáticas]
([math] \ sinh () [/ math] y [math] \ cosh () [/ math] son las funciones de seno hiperbólico y coseno hiperbólico respectivamente)
A partir de la forma de estas ecuaciones, podemos ver que la parte superior del elevador tiene una aceleración efectiva que es diferente a la parte inferior del elevador. La parte superior tiene una aceleración de:
[matemáticas] a_t = a_b / (1+ \ frac {h a_b} {c ^ 2}) [/ matemáticas]
Entonces, ¿por qué no hemos notado esta aceleración diferente en nuestros ascensores en la Tierra? Debido a que la diferencia es pequeña para situaciones con las que estamos familiarizados, por ejemplo, cuando se acelera a 1 g con un elevador que tiene 3 metros de altura, la diferencia entre la aceleración en la parte superior e inferior es solo una fracción de [matemática] 3 \ por 10 ^ {-16} [/ math] (ver (1-1 / (1 + 3 m * (aceleración de la gravedad) / c ^ 2))).
Los relojes funcionan más lentamente en un marco acelerado y, dado que las aceleraciones difieren, los relojes en la parte superior e inferior del elevador funcionarán a diferentes velocidades. La ecuación es:
[matemáticas] \ tau_t = (1+ \ frac {h a_b} {c ^ 2}) \ tau_b [/ matemáticas]
Como dice el artículo mencionado anteriormente:
Por lo tanto, los relojes en la parte superior e inferior de un cohete funcionan a diferentes velocidades.
Esta situación se puede hacer un poco más difícil al notar que aunque
la parte superior e inferior del cohete tienen relojes que funcionan a diferentes velocidades, el
arriba y abajo comparten las mismas líneas de simultaneidad. Ellos solo difieren sobre
El tiempo de estos eventos simultáneos.
Muy confuso, pero cierto!
Si cuadramos la ecuación anterior, obtenemos:
[matemáticas] \ tau_t ^ 2 = (1+ \ frac {h a_b} {c ^ 2}) ^ 2 \ tau_b ^ 2 [/ matemáticas]
[matemática] \ aprox (1+ \ frac {2 h a_b} {c ^ 2}) \ tau_b ^ 2 [/ matemática]
Si el observador en la parte inferior del elevador es el origen del sistema de coordenadas, entonces el reloj allí define el sistema de coordenadas de tiempo para todo el elevador. Por lo tanto, [math] \ tau_b [/ math] corresponde a un tiempo de sistema de coordenadas t y el [math] \ tau_t [/ math] corresponde al tiempo apropiado o al valor métrico para los relojes a la altura h del piso. Por lo tanto, el efecto de dilatación del tiempo es como tener una métrica:
[matemáticas] d \ tau ^ 2 = (1+ \ frac {2 h a_b} {c ^ 2}) dt ^ 2 [/ matemáticas] [matemáticas] – (dx ^ 2 + dy ^ 2 + dz ^ 2) / c ^ 2 [/ matemáticas]
donde también agregamos en los términos [math] x, y [/ math] y [math] z [/ math]. Recuerde que para un campo gravitacional débil, la métrica es:
[matemáticas] d \ tau ^ 2 = (1+ \ frac {2h g} {c ^ 2}) dt ^ 2 – [/ matemáticas] [matemáticas] (dx ^ 2 + dy ^ 2 + dz ^ 2) / c ^ 2 [/ matemáticas]
Entonces podemos ver que un marco de referencia acelerado tiene el mismo efecto de dilatación de tiempo que un campo gravitacional débil. Por lo tanto, un observador en un elevador con aceleración uniforme calculará que tiene una métrica de espacio-tiempo que es idéntica a un campo gravitatorio uniforme débil. Este es exactamente el principio de equivalencia, que es un supuesto fundamental de la relatividad general.
Por lo tanto, la conclusión es que la aceleración y la gravitación realmente son exactamente el mismo efecto: ambas se deben a la dilatación del tiempo dependiente de la posición. En otras palabras, ¡ambos se deben al espacio-tiempo curvo de 4 dimensiones!
