¡Actualizado!
Es curioso que me di cuenta de esta pregunta, ya que ayer estuve en una discusión de espacios de vectores duales con algunos amigos y me tomó un tiempo recordar cuáles eran.
Los vectores duales son elementos de un espacio vectorial dual (duh). Supongamos que tiene un espacio vectorial [matemático] V [/ matemático], definido sobre un campo [matemático] \ mathbf {K} [/ matemático].
Ahora, imaginemos dos funciones [math] f, g: V \ to \ mathbf {K} [/ math] que son lineales. Es cierto que [math] (f + g) (x) = f (x) + g (x) [/ math], [math] \ forall x \ in V [/ math]. Como las funciones son lineales, también es cierto que [math] (\ alpha f + \ beta g) (x) = \ alpha f (x) + \ beta g (x) [/ math].
¡Ahora puede adivinar que el conjunto de todas las funciones de este tipo forman un espacio vectorial! De hecho, esto es cierto, ya que tenemos una función cero (que asigna todos los elementos al elemento cero del campo) y un elemento inverso para todas las funciones (es decir, [math] -f [/ math]).
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Entonces, el conjunto de todas las funciones lineales forma un espacio vectorial. Este es el espacio vectorial dual , generalmente denotado por [math] V ^ * [/ math], y sus elementos son los vectores duales .
Para una base ortonormal de una [matemática] V [/ matemática] finita (llamemos a este conjunto [matemática] \ {e_1, \ dots, e_n \} [/ matemática]), podemos asociar una base en [matemática] V ^ *[/matemáticas]. Es cierto que ambos espacios son de la misma dimensión (esto también es cierto en espacios de dimensiones infinitas), por lo que denotamos su base por [math] \ {e_1 ^ *, \ dots, e ^ * _ n \} [/ math] , definido de modo que:
[matemáticas] e ^ * _ i e_j = \ delta_ {ij} [/ matemáticas] (el delta de Kronecker: 1 para [matemáticas] i = j [/ matemáticas], 0 de lo contrario). Esto es importante, ya que existe, en el fondo, una relación fundamental entre el espacio vectorial dual y el producto interno del espacio, lo que nos permite definir el espacio dual con el producto interno. Más sobre eso más adelante.
Los vectores duales son importantes en el contexto de la mecánica cuántica y la relatividad general, ya que, en ambos casos, generalmente tenemos que tratar con un espacio vectorial dual.
En el caso específico de GR, generalmente denotamos vectores como [math] v_ \ mu [/ math], mientras que los vectores duales se denotan como [math] v ^ \ mu [/ math]. Sin embargo, también podemos definir objetos de orden superior haciendo el producto tensorial de espacios vectoriales y de vectores duales. Por ejemplo, el producto tensorial de [math] V ^ * \ otimes V ^ * [/ math] nos permite definir un tensor de orden 2 (representado por una matriz), [math] g ^ {\ mu \ nu} [/ matemática], que nos permite transformar vectores en vectores duales. ¿Por qué es esto cierto? Nuestro operador debe actuar sobre dos vectores para transformarlos en un número. Si actuamos solo en uno, nos queda “un vector dual”.
Es decir: [math] v ^ \ mu = \ sum_ \ nu g ^ {\ mu \ nu} v_ \ nu [/ math] (donde [math] \ nu [/ math] cubre todas las dimensiones del espacio).
Si actuamos con esta matriz en dos vectores, nos queda un número: [math] \ sum _ {\ mu, \ nu} g ^ {\ mu \ nu} u ^ \ mu v ^ \ nu [/ math]. Si [math] u = v [/ math], podemos usar esto para definir un producto interno. De hecho, eso es lo que se hace en el contexto de la relatividad general, donde [matemáticas] g ^ {\ mu \ nu} [/ matemáticas] es un tensor métrico.
Fuentes:
Espacio vectorial dual
y los libros:
S. Carroll, espacio-tiempo y geometría
R. Wald, Relatividad general
Actualización: Santhosh Ramakrishnan solicitó otras aplicaciones de vectores duales.
Lo que me viene a la mente es la notación de brackets mecánicos cuánticos: [math] \ langle \ psi | [/ math] es un vector dual y [math] | \ psi \ rangle [/ math] es un vector. Esto viene como una aplicación del teorema de representación de Riesz y es una notación fundamental en QM.
Tenemos que el producto interno del espacio con el que está trabajando está definido por un vector dual. Si trabaja con un espacio de funciones:
[matemáticas] | \ psi \ rangle = \ psi (\ mathbf {x}) [/ matemáticas] y [matemáticas] \ langle \ psi | = \ int \, \ mathrm {d} \ mathbf {x} \ psi ^ * [/ math], de modo que:
[matemáticas] \ langle \ psi | \ phi \ rangle = \ int \, \ mathrm {d} \ mathbf {x} \ psi ^ * \ phi [[/ math].
También hay aplicaciones similares en electrodinámica, similares a las aplicaciones GR mencionadas anteriormente.
